Lembrando que ln ((1 + alpha)/(1 - alpha)) = 2 int_0^(alpha) (1)/(1 - x^2) d x , com 0 < |alpha| < 1 , mostre que:

(b) |ln ((1 + alpha)/(1 - alpha)) - 2 sum_(k = 0)^(oo) (alpha^(2 k + 1))/(2 k + 1)| <= (2)/(2 n + 3) . (alpha^(2 k + 3))/(1 - alpha^2)

Passo 1

Tendo em mente novamente a seguinte série geométrica:

(1)/(1 - r) = 1 + r + r^2 + ... + r^n + (r^(n + 1))/(1 - r)

Válida no intervalo |r| < 1 -> - 1 < r < 1

Substituindo r = x^2

(1)/(1 - x^2) = 1 + x^2 + x^4 + ... + x^(2 n) + (x^(2 n + 2))/(1 - x^2)

Passo 2

Do enunciado temos,

ln ((1 + alpha)/(1 - alpha)) = 2 int_0^(alpha) (1)/(1 - x^2) d x

E então integrando os termos da série:

= ln ((1 + alpha)/(1 - alpha)) = 2 {alpha + (alpha^3)/(3) + ... + (alpha^(2 n + 1))/(2 n + 1)} + 2 int_0^(alpha) (x^(2 n + 2))/(1 - x^2) d x

Passo 3

Sabendo que,

|int_0^(alpha) (x^(2 n + 1))/(1 - x^2) d x| <= (1)/(1 - alpha^2) . (alpha^(2 n + 3))/(2 n + 3)

Temos o seguinte:

ln ((1 + alpha)/(1 - alpha)) = 2 sum_(k = 0)^(oo) (alpha^(2 k + 1))/(2 k + 1) + 2 (1)/(1 - alpha^2) . (alpha^(2 n + 3))/(2 n + 3)

Resposta

Concluindo:

|ln ((1 + alpha)/(1 - alpha)) - 2 sum_(k = 0)^(oo) (alpha^(2 k + 1))/(2 k + 1)| <= (2)/(1 - alpha^2) . (alpha^(2 n + 3))/(2 n + 3)

Conforme queríamos demonstrar

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