Utilizando o Exercício 6, mostre que:

(c) ln (p - 1) = ln p - sum_(k = 1)^(oo) (1)/(k p^k) , p >= 2

Passo 1

No exercício 6 mostramos que

ln (1 - x) = - sum_(n = 1)^(oo) (x^n)/(n) = x - (x^2)/(2) - (x^3)/(3) - ...

Para 0 < x < 1

Passo 2

Partindo de :

ln (p - 1) = ln (p) + ln ((p - 1)/(p)) = ln (p) + ln (1 - (1)/(p)) =

Para 0 < (1)/(p) < 1 -> p >= 2

ln (1 - (1)/(p)) = - sum_(k = 1)^(oo) (((1)/(p))^k)/(k)

Passo 3

Portanto,

l n ( p - 1 ) = ln (p) - sum_(k = 1)^(oo) (1)/(k p^k)

Resposta

ln (p - 1) = ln (p) - sum_(k = 1)^(oo) (1)/(k p^k) , p >= 2 Conforme queríamos demonstrar.

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