Enunciado

Limites e subsequências. Se os termos de uma sequência aparecem em outra sequência na ordem dada, chamamos a primeira sequência de subsequência da segunda. Prove que se duas subsequências de uma sequência { a n } têm limites diferentes L 1 ≠ L 2 , então { a n } diverge.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos lá #partiudemonstração

Vamos considerar a sequência { a n } e duas subsequências suas a n 1 e a n 2 . Usando a definição de limite epsilon-delta, temos que:

Seja lim n → ∞ ⁡ a n 1 = L 1 e lim n → ∞ ⁡ a n 2 = L 2   com L 1 ≠ L 2 , isso implica que a n 1   - a n 2 se aproxima para

L 1   - L 2 e o seu valor é maior que zero desde que L 1 ≠ L 2 , ou seja, L 1   - L 2 > 0 .

No entanto, a definição de limite afirma que, para qualquer m , n > N então a m   -   a n < ϵ quando ϵ > 0 . Por comparação, seja m = a n 1 e n = a n 2 temos imediatamente uma contradição pois a n 1   - a n 2 > 0 e a n 1   - a n 2 < ϵ e isso é impossível pois ϵ > 0 .

Por conta dessa contradição, não existe números m , n > N então o limite não existe e a sequência diverge.

Como queríamos demonstrar.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a demonstração acima.

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