Enunciado

A média aritmética de dois números a e b é a +   b 2 . Mostre que o valor de c   na conclusão do teorema do valor médio para f x = x 2 em qualquer intervalo [   a ,   b ] é c   =   a   +   b   2 .

Passo 1

O exercício nos informou que a média a + b 2 e pede para que mostremos através da conclusão do teorema do valor médio para a função f x = x 2 em um intervalo fechado de extremos a e b que c = a + b 2   .

Passo 2

Pelo teorema do valor médio temos que uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e derivável em (a,b) implica em haver pelo menos um ponto C dentro desse intervalo tal que

f b - f a b - a = f ' ( c )

Nossa função em análise é f x = x 2   que apresenta derivada f ' x = 2 x por conta de regra de derivação de polinômios :   f x = x n → f ' x = n * x n - 1 . Aplicando-a no ponto C, temos f ' c = c 2 .

Passo 3

Agora, basta substituirmos os valores desejados na conclusão do teorema para poder verificar o que se pede.

f b - f a b - a = f ' ( c )

b 2 - a 2 b - a = 2 c

Podemos fatorar b 2 - a 2 como sendo a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a - b ) . Dessa forma,

( b - a ) ( a + b ) b - a = 2 c

Simplificando b - a encontramos

a + b = 2 c

c = a + b 2   .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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