Enunciado

Determine a função cuja derivada é g ’ x = 1 x 2 +   2 x   e cuja curva passe pelo ponto P ( - 1,1 ) .

Passo 1

Queremos encontrar uma função g x tal que sua derivada seja g ' x = 1 x 2 +   2 x , além disso, a nossa função deve passar pelo ponto P, ou seja, esse ponto deve satisfazer a lei de formação de g ( x ) .

Passo 2

Vamos reescrever a função g ’ ( x ) para ficar mais fácil de visualizar, então, vamos usar g ' x = x - 2     + 2 x . Se pegarmos uma função f x =   - 1 x + x 2 podemos perceber que f ' x = 1 x 2 + 2 x e , assim, f   e   g   possuem a mesma derivada. Dessa forma, podemos utilizar o corolário que vem do teorema do valor médio e diz o seguinte: se encontrarmos uma função f x tal que g ' x = f ' ( x ) para todo valor de x em um intervalo, então, existe uma constante C tal que g x = f x + C .

Passo 3

Da conclusão do corolário podemos obter o seguinte:

g x = f x + C

g x = - 1 x + x 2 + C

Passo 4

Como a Função passa pelo ponto P ( - 1 , 1 ) podemos concluir que g - 1 = 1 . Assim,

g - 1 = - 1 - 1 + - 1 2 + C  

1 = - - 1 + 1 + C

1 = 1 + 1 + C C = 1 - 2

C = - 1

∴ g x = - 1 x + x 2 - 1

Resposta

g x = - 1 x + x 2 - 1

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