Enunciado

Mostre que, em algum momento durante uma viagem de automóvel de 2 horas, o velocímetro marcava o valor equivalente à velocidade média da viagem.

Passo 1

Devemos mostrar que em algum momento de uma viagem de 2 horas a velocidade mostrada no velocímetro foi igual a velocidade média de um automóvel, dada por V m = ∆ s ∆ t . Para isso utilizaremos o tempo t como função do espaço percorrido s e, assim, teremos s ( t ) como nossa função que utilizaremos para mostrar o que problema pede.

Passo 2

Sendo s t a nossa função que representa o deslocamento em função do tempo, pelos dados do problema podemos calcular a velocidade média como sendo

V m = s 2 - s 0 2 - 0

Precisamos lembrar que a velocidade em função do tempo v t é a derivada primeira da nossa função s ( t ) .

Passo 3

Pelo teorema do valor médio temos que uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e derivável em (a,b) implica em haver pelo menos um ponto C dentro desse intervalo tal que

f b - f a b - a = f ' ( c )

No nosso caso, temos que o intervalo é dado por [0, 2] e podemos fazer o seguinte

s 2 - s 0 2 - 0 = s ' ( c )

Como s ' t = v ( t ) garantimos que em algum momento a velocidade marcada no velocímetro é igual a velocidade média da viagem.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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