Enunciado

A média geométrica de dois números positivos a e b é o número a b . Demonstre que o valor de c na conclusão do teorema do valor médio para f x = 1 x em um intervalo de números positivos [a, b] é c = a b .

Passo 1

O problema deseja que utilizando o teorema do valor médio e usando a função

f x = 1 x provemos que o valor de C na conclusão desse teorema é igual a média geométrica dos valores extremos desse intervalo que são os números a e b.

Passo 2

Pelo teorema do valor médio temos que uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e derivável em (a,b) implica em haver pelo menos um ponto C dentro desse intervalo tal que

f b - f a b - a = f ' ( c )

Para a parte esquerda da nossa equação precisamos apenas substituir valores, no entanto, para o lado direito da nossa equação precisaremos derivar f x e aplicar x = c para sabermos quanto vale f ' ( c ) .

Passo 3

Podemos reescrever f ( x ) como sendo f x = 1 x = x - 1 e dessa forma aplicar a derivação de polinômios que nos diz que se f x = x n → f ' x = n * x n - 1 . Dessa forma, para o nosso exemplo f ' x =   - x - 2 =   - 1 x 2 .

Passo 4

Por fim, basta substituirmos todos os valores que possuímos e manipular algebricamente para chegar na demonstração que desejamos. Então, finalmente

f b - f a b - a = f ' ( c )

1 b - 1 a b - a = - 1 c 2   ( i )

Para o numerador do lado esquerdo tiraremos o mmc ficando com:

1 b - 1 a = a - b a b   ( i i )

Substituindo ( i i ) em ( i ) obtemos

a - b a b b - a =   - 1 c 2

Multiplicando cruzado vamos obter

a - b a b * c 2 = - 1 * b - a

Efetuando a distributiva do - 1   com o lado direito da expressão, obtemos

a - b a b * c 2 = - b - ( - a )

a - b a b * c 2 = - b + a

a - b a b * c 2 = a - b Como temos ( a - b ) em ambos os lados da expressão podemos simplificar nossa expressão dividindo ambos os lados por ( a - b ) que a expressão não se altera. Assim,

a - b a b * c 2 * 1 a - b = a - b * 1 a - b

1 a b * c 2 = 1

c 2 a b = 1

Passando a b pro outro lado multiplicando teremos

c 2 = a b

Por fim, aplicaremos a raiz quadrada em ambos os lados obtendo

c 2 = a b

c =   ± a b

Como o problema especificou que o intervalo trata de números positivos podemos descartar a hipótese de termos c =   - a b . Então, finalmente chegamos a conclusão que

c = a b  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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