Enunciado

Aproximação do equilíbrio por duas trajetórias. Mostre que as duas trajetórias que conduzem a ( m / n ,   a / b ) mostradas na Figura 9.31 são únicas por meio dos passos seguintes.

  1. A partir do sistema 1 a e 1 b , aplique a regra da cadeia para deduzir a seguinte equação:
  2. d y d x = m - n x ⋅ y a - b y ⋅ x   ,

  3. Separe as variáveis, integre e calcule a exponencial para obter
  4. y a e - b y = k x m e - n x   ,

    o n d e   K é uma constante de integração.

  5. Seja f ( y )   =   y a / e b y e g x = x m e n x . Mostre que f ( y ) tem um único máximo M y = a e b a quando y   = a b , como mostra a Figura 9.35. Do mesmo modo, mostre que g ( x ) tem um único máximo M x   =   m e n m quando   x   = m n , também mostrado na Figura 9.35.
  6. Considere o que acontece quando x , y se aproxima de m n , a b . Torne os limites no item (b) quando x → m n e y → a b para mostrar que
  7. lim x → m / n y → a / b ⁡ y a e b y   ⋅ e n x x m   = K

    Ou que M y M x = K . Assim, qualquer trajetória de solução que se aproxime de m n , a b deve satisfazer

    y a e b y = M y M x ⋅ x m e n x .

  8. Mostre que apenas uma trajetória pode aproximar ( m / n ,   a / b ) por baixo da reta y = a/b. Pegue y 0   <   a / b . A partir da Figura 9.35, podemos verificar que f ( y 0 )   <   M y , o que implica em
  9. M y M x ⋅ x m e n x =   y 0 a e b y 0

    Isso, por sua vez, implica em

    x m e n x < M x   ,

    A Figura 9.35 mostra que para g ( x ) existe um único valor X 0   <   m / n que satisfaz essa última desigualdade. Isto é, para cada y   < a b , existe um único valor de x que satisfaz a equação do item (d). Assim, pode existir apenas uma solução de trajetória que aproxima m n , a b por baixo, como mostra a Figura 9.36.

  10. Use um argumento semelhante para mostrar que a trajetória da solução que leva a ( m / n ,   a / b ) é única se y 0   >   a / b

Passo 1

Nessa questão a resposta é construída através da resolução de cada item, pois cada um vai nos fornecer subsídio para que possamos mostrar a unicidade das trajetórias que conduzem a ( m / n ,   a / b ) .

Passo 2

Para resolvermos o item A precisamos, primeiramente, saber o que é esse sistema de 1 a e 1 b que é descrito no texto e representado por

d x d t = a - b y ⋅ x           ( 1 a )

d y d t = m - n x ⋅ y       ( 1 b )

Dando um reformulado nessas equações chegamos em

d x d t = a x - b y x           ( 1 a )

d y d t = m y - n x y       ( 1 b )

Precisamos, agora, encontrar d y d t e podemos fazer

d y d t = d y d x ⋅ d x d t → d y d x = d y d t d x d t = m - n x ⋅ y a - b y ⋅ x

Passo 3

Seguindo com as sugestões do problema vamos separar as variáveis

d y d x =   m - n x ⋅ y a - b y ⋅ x → d y y = m - n x d x a - b y ⋅ x

a - b y d y y = m - n x d x x

y ⋅ a y - b y   d y = x ⋅ m x - n x d x

a y - b   d y =   m x - n   d x  

Integrando ambos os lados vamos ter

∫ a y - b   d y = ∫   m x - n   d x

a ⋅ ln ⁡ y - b y = m ⋅ ln ⁡ x - n x + C

ln ⁡ y a - ln ⁡ e - b y = ln ⁡ x m + ln ⁡ e - n x + ln ⁡ e c

ln ⁡ y a ⋅ e - b y = ln ⁡ x m ⋅ e - n x ⋅ e c

Fazendo e c = k

y a ⋅ e - b y = k ⋅ x m ⋅ e - n x

Passo 4

Seguindo a resolução com as dicas dadas no exercício vamos tomar f ( y )   =   y a / e b y e g x = x m e n x e buscar seus pontos de máximo e aplicar esses valores na nossa função

f y = y a e b y → f ' y = a ⋅ y a - 1 ⋅ e - b y - b ⋅ y a ⋅ e - b y = y a - 1 ⋅ e - b y ⋅ ( a - b y )

f ' y = 0 → y = 0   o u   y = a b

Se derivarmos a função mais uma vez e aplicando o ponto a b

f " ( a / b )   = - b ⋅ ( a b ) a - 1 ⋅ e - a < 0 → p o n t o   d e   m á x i m o    

Aplicando esse ponto na nossa equação f ( y ) vamos ter

M y = a e b a  

Fazendo o mesmo procedimento para g ( x ) obteremos

g x = x m e n x → g ' x = m ⋅ x m - 1 ⋅ e - n x - n ⋅ x m ⋅ e - n x

g ' x = 0 → x = 0   o u   x = m n

g " ( m / n )   = - n ⋅ ( m n ) m - 1 ⋅ e - m < 0 → p o n t o   d e   m á x i m o    

Aplicando esse ponto na nossa função inicial g x   vamos obter

M x = m e n m

Passo 5

Considerando a trajetória x . y → m n , a b . Tomando, agora, o resultado do item B temos

y a e - b y = k x m e - n x

k = y a e b y ⋅ e n x x m

Aplicando o limite em ambos os lados teremos

lim x → m / n y → a / b ⁡ y a e b y   ⋅ e n x x m   =   l i m x → m / n y → a / b   K → K = M y M x  

Portanto

y a e - b y = k x m e - n x → y a e b y = M y M x ⋅ x m e n x

Representa a equação que qualquer trajetória de soluções deve satisfazer se a trajetória se aproximar do ponto de repouso assintoticamente.

Passo 6

Tomando a condição inicial y 0 < a b . Então pela figura temos que f y 0 < M y   implica em y 0 a e b y 0 = M y M x ⋅ x m e n x < M y e, portanto, x m e n x < M x da figura para g ( x ) presente no item C temos que existe um único x 0 < m / n que satisfaça x m e n x < M y da mesma forma para y < a b , dessa forma existe apenas uma única trajetória que aproxima m n , a b por baixo.

Passo 7

Da mesma forma como mostrado anteriormente, existe uma trejetória única quando y 0 > a b .   Novamente, f y 0 <   M y implica M y M x ⋅ x m e n x < M y   e, portanto, x m e n x < M x . Analisando novamente a figura de g x mostrada no item C, vemos que existe um único x 0 > m n que satisfaz x m e n x < M x . Ou seja, para cada y > a b temos um único x que satisfaz y a e b y = M y M x ⋅ x m e n x . Portanto, só pode existir uma única trajetória se aproximando de m n , a b .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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