Enunciado

Modelo econômico. Considere o seguinte modelo econômico: seja P o preço de um único item no mercado. Seja Q a quantidade do item disponível no mercado. P   e   Q são funções do tempo. Se considerarmos o preço e a quantidade como duas espécies que interagem, poderíamos propor o modelo a seguir:

d P d t = a P ⋅ b Q - P ,

d Q d t = c Q ⋅ f P - Q

onde a ,   b ,   e   e   f são constantes positivas. Justifique e discuta a adequação do modelo.

  1. Se a =   1 ,   b   =   20.000 ,   c =   1   e   f   =   30 , encontre os pontos de equilíbrio desse sistema. Se possível, classifique cada ponto de equilíbrio no que diz respeito à sua estabilidade. Se um ponto não puder ser classificado de imediato, dê uma explicação.
  2. Realize uma análise da estabilidade gráfica para determinar o que ocorrerá com os níveis de P   e   Q à medida que o tempo aumenta.
  3. Forneça uma interpretação econômica das curvas que determinam os pontos de equilíbrio.

Passo 1

Substituindo os valores das constantes no problema vamos obter

d P d t = P ⋅ 20000 Q - P   e   d Q d t = Q ⋅ 30 P - Q

Igualando as derivadas a 0 para obtermos os pontos de equilíbrio vamos ter

P ⋅ 20000 Q - P = 0 → P = 0   o u   P = 20000 Q

Q ⋅ 30 P - Q = 0 → Q = 0   o u     30 P = Q

→ 0,0   e   ( 25.8 ,   775 )

O ponto ( 0,0 ) é um ponto de equilíbrio instável e o outro ponto 25.8 ,   775 é inconclusivo perto do ponto as trajetórias são periódicas.

Passo 2

Para avaliarmos o que o item nos pede, tomemos o seguinte gráfico

Na região I temos que d p d t > 0   e d Q d t < 0   são maiores que 0, para a região II teremos d p d t > 0   e d Q d t > 0 , já para a região III temos d p d t < 0   e d Q d t < 0 e, por fim, na região IV temos d p d t < 0   e d Q d t > 0 .

Passo 3

A curva d P d t = 0   o u   P Q = 20000 pode ser pensada como a curva de demanda enquanto que a curva d Q d t = 0   o u   Q = 30 P pode ser vista como a curva de oferta.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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