Enunciado

Modifique o argumento do Exemplo 1 para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico especificado no ponto dado.

29.O gráfico de y = x 4 em (1, 1).

Passo 1

Equação da reta tangente não é nenhum mistério! Dos conhecimentos de geometria analítica e álgebra linear, vamos recuperar o “molde” da equação da reta, que é o seguinte:

y - y 0 = a ∙ ( x - x 0 )

Dentro desse molde que nós vamos inserir os dados que temos e os que vamos obter pelo enunciado. x 0 e y 0 nada mais são que as coordenadas do ponto escolhido, por onde passa a reta tangente ao gráfico da função.

E a nada mais é que a inclinação da reta tangente, no ponto escolhido. E isso equivale à derivada da função, naquele ponto! Assim, fica simples de resolver!

Passo 2

Primeiro, só basta derivar a função:

f ' x = 4 x 3

A inclinação da reta tangente, a , no ponto ( 1 ,   1 ) valerá:

a = f ' 1 = 4 ∙ 1 3

∴ a = 4

Passo 3

O último passo é somente aplicar no molde da equação ad reta os dados que temos. Bem simples! Teremos:

y - 1 = 4 ∙ ( x - 1 )

Já poderíamos deixar isso como resposta, mas não é a forma mais comum de vermos as equações de reta no cálculo. Passamos então essa expressão pra forma mais convencional:

y - 1 = 4 x - 4

∴ y = 4 x - 3

Resposta

∴ y = 4 x - 3

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