Enunciado

Uma mola tem massa de 1 k g presa a ela e sua constante de amortecimento é c = 10 . A mola começa de sua posição de equilíbrio com velocidade de 1 m / s . Faça os gráficos da função posição para os seguintes valores da constante da mola k : 10 ,   20 ,   25 ,   30 ,   40 . Que tipo de amortecimento acontece em cada caso?

Passo 1

Olá, tudo bem? A equação diferencial que descreve o movimento de uma massa presa a uma mola é dada pela equação 3 do livro texto:

d 2 x d t 2 + 10 d x d t + k x = 0

Essa é uma equação diferencial de segunda ordem, homogênea e de coeficientes constantes. A equação característica associada é:

λ 2 + c λ + k = 0

E a solução é dada pela fórmula de Bháskara:

λ = - c ± c 2 - 4 k 2

Aqui podemos ter três tipos de movimento, dependendo do sinal do delta Δ = c 2 - 4 k . Vamos analisar 5 casos diferentes.

Passo 2

Primeiro caso, com k = 10 . Substituindo na solução para λ temos:

λ = - c ± c 2 - 4 k 2 = - 10 ± 100 - 40 2 = - 10 ± 60 2 = - 5 ± 15

Aqui temos duas raízes reais e diferentes e a solução vai ser do tipo:

x t = c 1 e ( - 5 + 15 ) t + c 2 e ( - 5 - 15 ) t

E as condições de contorno? Temos duas. A primeira nos diz que x 0 = 0 , então temos:

x 0 = c 1 + c 2 = 0 ∴ c 1 = - c 2

A segunda condição é sobre a derivada de x ( t ) , então derivando a solução temos:

x ' t = ( - 5 + 15 ) c 1 e - 5 + 15 t + ( - 5 - 15 ) c 2 e ( - 5 - 15 ) t

Aplicando em t = 0 temos:

x ' 0 = ( - 15 + 5 5 ) c 1 + ( - 15 - 5 5 ) c 2 = 1

Sabendo que c 1 = - c 2 e resolvendo o sistema vamos ter:

c 2 = - 1 2 15

E c 1 :

c 1 = 1 2 15

Então a solução vai ser:

x t = 1 2 15 e ( - 15 + 5 5 ) t + - 1 2 15 e ( - 15 - 5 5 ) t

O movimento vai ser superamortecido, pois temos duas raízes reais e distintas.

Passo 3

Para k = 20 temos:

λ = - c ± c 2 - 4 k 2 = - 10 ± 100 - 80 2 = - 10 ± 20 2 = - 5 ± 5

Aqui temos duas raízes reais e diferentes e a solução vai ser do tipo:

x t = c 1 e ( - 5 + 5 ) t + c 2 e ( - 5 - 5 ) t

E as condições de contorno? Temos duas. A primeira nos diz que x 0 = 0 , então temos:

x 0 = c 1 + c 2 = 0 ∴ c 1 = - c 2

A segunda condição é sobre a derivada de x ( t ) , então derivando a solução temos:

x ' t = ( - 5 + 5 ) c 1 e - 5 + 5 t + ( - 5 - 5 ) c 2 e ( - 5 - 5 ) t

Aplicando em t = 0 temos:

x ' 0 = ( - 5 + 5 ) c 1 + ( - 5 - 5 ) c 2 = 1

Sabendo que c 1 = - c 2 e resolvendo o sistema vamos ter:

c 2 = - 1 2 5

E c 1 :

c 1 = 1 2 5

Então a solução vai ser:

x t = 1 2 5 e ( - 5 + 5 ) t + - 1 2 5 e ( - 5 - 5 ) t

O movimento também vai ser superamortecido, pois temos duas raízes reais e distintas.

Passo 4

Para k = 25 temos:

λ = - c ± c 2 - 4 k 2 = - 10 ± 100 - 100 2 = - 10 ± 0 2 ∴ λ 1 = λ 2 = - 5

Aqui temos duas raízes reais e iguais e a solução vai ser do tipo:

x t = c 1 e - 5 t + c 2 t e - 5 t

E as condições de contorno? Temos duas. A primeira nos diz que x 0 = 0 , então temos:

x 0 = c 1 = 0

A segunda condição é sobre a derivada de x ( t ) , então derivando a solução temos:

x ' t = - 5 c 1 e - 5 t + c 2 e - 5 t - 5 t c 2 e - 5 t

Aplicando em t = 0 temos:

x ' 0 = - 5 c 1 + c 2 = 1 ∴ c 2 = 1

Então a solução vai ser:

x t = t e - 5 t

Como temos duas raízes reais iguais, o movimento é classificado como amortecimento crítico.

Passo 5

Para k = 30 temos:

λ = - c ± c 2 - 4 k 2 = - 10 ± 100 - 120 2 = - 10 ± - 20 2 = - 5 ± 5 i

Aqui temos duas raízes complexas do tipo λ = α ± β i a solução é:

x t = e α t c 1 cos ⁡ β t + c 2 s e n β t

Beleza? Aqui temos α = - 5 e β = 5 . Vamos substituir os valores encontrados? A solução x ( t ) é:

x t = e - 5 t c 1 cos ⁡ 5 t + c 2 s e n 5 t

E as condições de contorno? Temos duas. A primeira nos diz que x 0 = 0 , então temos:

x t = e 0 c 1 cos ⁡ 0 + c 2 s e n 0 = 0 ∴ c 1 = 0

A segunda condição é sobre a derivada de x ( t ) , então derivando a solução temos:

x ' t = e - 5 t - 5 c 1 sen ⁡ 5 t + 5 c 2 c o s 5 t - 5 e - 5 t c 1 cos ⁡ 5 t + c 2 s e n 5 t

Aplicando em t = 0 temos:

x ' 0 = 5 c 2 - 5 c 1 = 1 ∴ c 2 = 1 5

Então a solução vai ser:

x t = e - 5 t 1 5 s e n 5 t

E o movimento é o subamortecido

Vamos para o último valor de c ?

Passo 6

Para k = 40 temos:

λ = - c ± c 2 - 4 k 2 = - 10 ± 100 - 160 2 = - 10 ± - 60 2 = - 5 ± 15 i

Aqui temos duas raízes complexas do tipo λ = α ± β i a solução é:

x t = e α t c 1 cos ⁡ β t + c 2 s e n β t

Beleza? Aqui temos α = - 5 e β = 15 . Vamos substituir os valores encontrados? A solução x ( t ) é:

x t = e - 5 t c 1 cos ⁡ 15 t + c 2 s e n 15 t

E as condições de contorno? Temos duas. A primeira nos diz que x 0 = 0 , então temos:

x t = e 0 c 1 cos ⁡ 0 + c 2 s e n 0 = 0 ∴ c 1 = 0

A segunda condição é sobre a derivada de x ( t ) , então derivando a solução temos:

x ' t = e - 5 t - 15 c 1 sen ⁡ 15 t + 15 c 2 c o s 15 t - 5 e - 5 t c 1 cos ⁡ 15 t + c 2 s e n 15 t

Aplicando em t = 0 temos:

x ' 0 = 15 c 2 - 5 c 1 = 1 ∴ c 2 = 1 15

Então a solução vai ser:

x t = e - 5 t 1 15 s e n 15 t

E o movimento também é o subamortecido.

O gráfico abaixo mostra todas as soluções juntas:

E os movimentos vão ser:

  • k = 10 : superamortecido.
  • k = 20 : superamortecido.
  • k = 25 : amortecimento crítico.
  • k = 30 : subamortecido.
  • k = 40 : subamortecido.
  • Resposta

  • k = 10 : superamortecido.
  • k = 20 : subamortecido.
  • k = 25 : amortecimento crítico.
  • k = 30 : subamortecido.
  • k = 40 : subamortecido.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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