Enunciado

Mostre que sqrt(1 + x) < 1 + (1)/(2) x se x > 0 .

Passo 1

Olá, Yuri aqui e estarei para te ajudar a resolver essa atividade. Aqui queremos mostrar a desigualdade sqrt(1 + x) < 1 + (1)/(2) x .

Para essa atividade iremos utilizar do Teorema do Valor Médio:

O Teorema do Valor Intermediário diz que:

Se f ( x ) é continua no intervalo fechado [ a , b ] e é diferençável no intervalo aberto ( a , b ) , então

f^' (c) = (f (b) - f ( a ))/(b - a)

Passo 2

Reescreva a equação na forma adequada para que possamos aplicar o Teorema do Valor Médio para a função no lado esquerdo da desigualdade:

sqrt(1 + x) < 1 + (1)/(2) x

sqrt(1 + x) - sqrt(1) < (1)/(2) x

(sqrt(1 + x) - sqrt(1))/(x) < (1)/(2)

(sqrt(1 + x) - sqrt(1))/((1 + x) - x) < (1)/(2)

Note que agora a forma (f (b) - f ( a ))/(b - a) para f (x) = sqrt(1 + x) , a = 1 e b = 1 + x desde que sqrt(1 + x) satisfaça as condições do Teorema do Valor Médio no intervalo ( 1,1 + x ) onde x > 0 , a expressão é igual a f ' ( c ) por algum c in ( 1,1 + x ) então c > 1

(sqrt(1 + x) - sqrt(1))/((1 + x) - x) = f^' (c) = (1)/(2 sqrt(1 + c))

A desigualdade inicial que precisamos provar agora é equivalente a:

(1)/(2 sqrt(1 + c)) < (1)/(2)

E isso é verdade desde que

c < 1

Resposta

Ver a resolução.

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