Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 0 ⁡ x 2 1 - cos ⁡ x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar o seguinte limite:

lim x → 0 �� x 2 1 - cos ⁡ x

Para isso, a questão quer que usemos a regra de L’Hôspital quando for apropriado.

Mas que regra é essa??

A Regra de L'Hôpital é uma técnica no cálculo diferencial que é utilizada para avaliar limites indeterminados do tipo 0 / 0 ​ ou ∞ / ∞ .

Se a gente tiver indeterminação desse tipo, temos que derivar o numerador e o denominador da função e prosseguir aplicando o limite.

E aí?? Bora aplicar?? 😉 ​

Passo 2

Vamos verificar se há a existência de uma indeterminação:

lim x → 0 ⁡ x 2 1 - cos ⁡ x = 0 2 1 - cos ⁡ 0 ∴

lim x → 0 ⁡ x 2 1 - cos ⁡ x = 0 1 - 1 ∴

lim x → 0 ⁡ x 2 1 - cos ⁡ x = 0 0

Temos uma indeterminação do tipo 0 0 , vamos então aplicar a Regra de L'Hôspital.

Passo 3

Derivando o numerador e o denominador separadamente:

lim x → 0 ⁡ x 2 ' 1 - cos ⁡ x ' = lim x → 0 ⁡ 2 x sin ⁡ x

Substituindo o limite, temos:

lim x → 0 ⁡ 2 x sin ⁡ x = 2 0 sin ⁡ 0 ∴

lim x → 0 ⁡ 2 x sin ⁡ x = 0 0

Passo 4

Novamente caímos em uma indeterminação do tipo 0 0 .

Vamos usar L'Hôspital mais uma vez:

lim x → 0 ⁡ 2 x ' ( sin ⁡ x ) ' = lim x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ x

Substituindo o limite:

lim x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ x = 2 cos ⁡ 0 ∴

lim x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ x = 2 1 ∴

lim x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ x = 2

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 2 1 - cos ⁡ x = 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ 1 - ln ⁡ x e 1 x
Calcule o limite dado sem usar a regra de L’Hospital e depois use-a para conferir sua resposta. a lim x → 1⁡ x 2 - 1 x 3 - 1
Encontre o limite. lim x → + ∞ ⁡ x 100 e x
Encontre o limite. lim x → π 2 - ⁡ sec ⁡ 3 x cos ⁡ 5 x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ s e nx ln ⁡ t gx