Enunciado

Se 9 x^2 = y (y - 3)^2 , mostre que

d s^2 = ((y + 1)^2)/(4 y) d y^2

Passo 1

Vamos começar vendo como é a fórmula do d s^2 :

d s^2 = d x^2 + d y^2

Repare que no enunciado ele quer que sobre um d y^2 ali no termo certo? Vamos coloca-lo em evidência na fórmula do d s^2

d s^2 = d y^2 ((d x^2)/(d y^2) + 1)

Arrumando aquele termo ao quadrado dentro do parêntes, para aparecer a derivada, vamos ter:

d s^2 = d y^2 (((d x)/(d y))^2 + 1)

Entao para acharmos a fórmula do d s^2 , precisamos achar a derivada de x em relação a y

Passo 2

Vamos derivadar implicitamente. Ou seja, quando derivamos o x , vai aparecer sempre um x^' porque o x é uma função de y .

Temos que derivar a seguinte equação:

9 x^2 = y (y - 3)^2

Derivando dos dois lados, teremos:

(9 x^2)^' = (y (y - 3)^2)^'

18 x x^' = (y (y - 3)^2)^'

Não equeça do x^' ali junto do x beleza?

Para derivar o lado direito, vamos usar a regra do produto:

18 x x^' = (y)^' (y - 3)^2 + y ((y - 3)^2)^'

18 x x^' = 1 (y - 3)^2 + y (2 (y - 3))

18 x x^' = (y - 3)^2 + 2 y (y - 3)

Vamos colocar o y - 3 em evidência:

18 x x^' = (y - 3) (y - 3 + 2 y)

18 x x^' = (y - 3) (3 y - 3)

Podemos colocar o 3 em evidência no segundo parênteses:

18 x x^' = 3 (y - 3) (y - 1)

Vamos isolar o x^'

x^' = (3 (y - 3) (y - 1))/(18 x)

x^' = ((y - 3) (y - 1))/(6 x)

Lembrando que

x^' = (d x)/(d y)

Vamos ter:

(d x)/(d y) = ((y - 3) (y - 1))/(6 x)

Passo 3

Voltando para a fórmula do d s^2

d s^2 = d y^2 (((d x)/(d y))^2 + 1)

Vamos substituir a derivada que achamos no último passo:

d s^2 = d y^2 ((((y - 3) (y - 1))/(6 x))^2 + 1)

d s^2 = d y^2 (((y - 3)^2 (y - 1)^2)/(36 x^2) + 1)

Essa não é exatamente a fórmula que ele deu né? Isso porque ele pegou o valor de x^2 pela equação inicial e substituiu ali. Assim oh:

9 x^2 = y (y - 3)^2

x^2 = (y (y - 3)^2)/(9)

Substituindo:

d s^2 = d y^2 (((y - 3)^2 (y - 1)^2)/(36 ((y (y - 3)^2)/(9))) + 1)

d s^2 = d y^2 (((y - 3)^2 (y - 1)^2)/(4 y (y - 3)^2) + 1)

Simplificando o (y - 3)^2

d s^2 = d y^2 (((y - 1)^2)/(4 y) + 1)

Vamos igualar os denominadores:

d s^2 = d y^2 (((y - 1)^2 + 4 y)/(4 y))

Abrindo aquele quadrado:

d s^2 = d y^2 ((y^2 - 2 y + 1 + 4 y)/(4 y))

d s^2 = d y^2 ((y^2 + 2 y + 1)/(4 y))

Aquele termo no numerador, é um trinômio quadrado perfeito:

y^2 + 2 y + 1 = (y + 1)^2

Logo:

d s^2 = d y^2 (((y + 1)^2)/(4 y))

d s^2 = (d y^2 (y + 1)^2)/(4 y)

Que é exatamente o que ele pediu.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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