Mostre que 1/3 T_n + 2/3 M_n = S_2n .

Passo 1

Para achar a aproximação pela Regra do Trapézio fazemos uma média das aproximações da soma de Riemann, com a fórmula:

T n = 1 2 ∆ x f x 0 + 2 ∑ i = 1 n - 1 f x i + f x n

Para a aproximação do Ponto Médio, onde os x dos pontos são os pontos médios de cada intervalo, temos:

M n = ∆ x ∑ i = 1 n f x i - ∆ x 2

Assim, temos que:

1 3 T n + 2 3 M n = 1 3 T n + 2 M n = ∆ x 3.2 f x 0 + 2 ∑ i = 1 n - 1 f x i + f x n + 4 ∑ i = 1 n f x i - ∆ x 2

Onde ∆ x = b - a n . Vamos fazer δ x = b - a 2 n , assim ficamos com ∆ x = 2 δ x , substituindo isso na expressão de cima:

1 3 T n + 2 3 M n = 1 3 T n + 2 M n = δ x 3 f x 0 + 2 ∑ i = 1 n - 1 f x i + f x n + 4 ∑ i = 1 n f x i - δ x = 1 3 δ x f x 0 + 4 f x 1 - δ x + 2 f x 1 + 4 f x 2 - δ x + 2 f x 2 + 4 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 1 + 4 f x n - δ x + f x n

Já que x 0 , x 1 - δ x , x 1 , x 2 - δ x , x 2 ,..., x n - 1 , x n - δ x , x n são os subintervalos dos pontos de extremidade de S 2 n , e já que δ x = b - a 2 n é largura dos subintervalos de S 2 n , a última expressão para 1 3 T n + 2 3 M n é a expressão usual de S 2 n , assim, 1 3 T n + 2 3 M n = S 2 n .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados