Enunciado

Mostre que (1)/(3) T_n + (2)/(3) M_n = S_2 n .

Passo 1

Para achar a aproximação pela Regra do Trapézio fazemos uma média das aproximações da soma de Riemann, com a fórmula:

T_n = ((1)/(2) Delta x) [f (x_0) + 2 sum_(i = 1)^(n - 1) f (x_i) + f (x_n)]

Para a aproximação do Ponto Médio, onde os x dos pontos são os pontos médios de cada intervalo, temos:

M_n = Delta x sum_(i = 1)^n f (x_i - (Delta x)/(2))

Assim, temos que:

(1)/(3) T_n + (2)/(3) M_n = (1)/(3) (T_n + 2 M_n) = (Delta x)/(3.2) [f (x_0) + 2 sum_(i = 1)^(n - 1) f (x_i) + f (x_n) + 4 sum_(i = 1)^n f (x_i - (Delta x)/(2))]

Onde Delta x = (b - a)/(n) . Vamos fazer delta x = (b - a)/(2 n) , assim ficamos com Delta x = 2 delta x , substituindo isso na expressão de cima:

(1)/(3) T_n + (2)/(3) M_n = (1)/(3) (T_n + 2 M_n) = (delta x)/(3) [f (x_0) + 2 sum_(i = 1)^(n - 1) f (x_i) + f (x_n) + 4 sum_(i = 1)^n f (x_i - delta x)] = (1)/(3) delta x [f (x_0) + 4 f (x_1 - delta x) + 2 f (x_1) + 4 f (x_2 - delta x) + 2 f (x_2) + 4 + * * * + 2 f (x_n - 1) + 4 f (x_n - delta x) + f (x_n)]

Já que x_0 , x_1 - delta x , x_1 , (x_2 - delta x) , x_2 ,..., x_n - 1 , x_n - delta x , x_n são os subintervalos dos pontos de extremidade de S_2 n , e já que delta x = (b - a)/(2 n) é largura dos subintervalos de S_2 n , a última expressão para (1)/(3) T_n + (2)/(3) M_n é a expressão usual de S_2 n , assim, (1)/(3) T_n + (2)/(3) M_n = S_2 n .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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