Enunciado

Mostre que cada uma das seguintes funções é uma solução da equação da onda u t t = a 2 u x x .

(c) u = x - a t 6 + x + a t 6

Passo 1

Show de bola, galera! Não tem mistério....Se repararmos bem a nossa equação diferencial parcial, precisaremos calcular somente u t t e u x x , e verificar se a equação é satisfeita. Simples assim.

Partiu fazer essas contas?

Passo 2

u t = ∂ u ∂ t = ∂ ∂ t x - a t 6 + x + a t 6 = 6 a a t - x 5 + a t + x 5

u t t = ∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ ∂ t ∂ u ∂ t = ∂ ∂ t 6 a a t - x 5 + a t + x 5 = 30 a 2 ( - a t + x ) 4 + ( a t + x ) 4

u x = ∂ u ∂ x = ∂ ∂ x x - a t 6 + x + a t 6 = 6 ( - a t + x ) 5 + ( a t + x ) 5

u x x = ∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ u ∂ x = ∂ ∂ x 6 ( - a t + x ) 5 + ( a t + x ) 5 = 30 ( - a t + x ) 4 + ( a t + x ) 4

Passo 3

Jogando na equação:

u t t = a 2 u x x ⇒     ?     30 a 2 ( - a t + x ) 4 + ( a t + x ) 4 = a 2 30 ( - a t + x ) 4 + ( a t + x ) 4

→ 30 a 2 ( - a t + x ) 4 + ( a t + x ) 4 = 30 a 2 ( - a t + x ) 4 + ( a t + x ) 4 ⏟ O K  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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