Enunciado

Mostre que, se p é diferenciavel e p t > 0 , então o wronskiano W t de duas soluções de p t y ' ' + q t y = 0 é W t = c / p t , em que c é uma constante.

Passo 1

Para resolvermos, vamos analisar e rearranjar a equação, quando necessário na forma

y ' ' + p t y ' + q t y = 0

onde poderemos utilizar a forma do wronskiano em que aparece a integral, escrito da seguinte forma

W = C ⋅ e - ∫ p t d t

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a equação dada. Temos que ela pode ser escrita como:

p t ⋅ y ' ' + p ' t ⋅ y ' t + q t y = 0

Agora aplicando o método mostrado no passo 1, temos que não será necessário nem reorganizar nossa EDO, conseguimos identificar perfeitamente nosso P t = p ' t p t . Substituindo no wronskiano, temos então que:

W = C ⋅ e - ∫ p ' t p t d t

Aplicando a transformação u = p t , teremos que d u = p ' t ⋅ d t . Substituindo na integral, teremos que

W = C ⋅ e - ∫ d u u d u = C ⋅ e - ln ⁡ u = C ⋅ u - 1 = C ⋅ p t - 1  

E esse é o nosso wronskiano a menos de uma constante

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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