Enunciado

Para a equação linear de segunda ordem P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0 , mostre que a adjunta da equação adjunta é a equação original.

Passo 1

Para resolvermos, vamos calcular duas vezes a equação adjunta: a primeira para nossa equação original e a segunda para nossa equação adjunta. No final, vamos comparar a adjunta de nossa adjunta e nossa original para verificarmos se são as mesmas.

Passo 2

Bom, vamos lá! Como já dito no passo 1, vamos calcular a adjunta da nossa original. Utilizando o resultado do exercício 46, temos que a equação adjunta é dada por:

P ⋅ μ ' ' + 2 P ' - Q ⋅ μ ' + P ' ' - Q + R ⋅ μ = 0

Assim, identificando os termos da nossa equação original, teremos que

P x = P

Q x = Q

R x = R

chegando que nossa adjunta da original é a própria equação acima. Porém, agora temos que para essa nossa equação adjunta, os termos P x ,   Q x   e   R x mudaram: pra gente agora, os novos termos são:

P x = P

Q x = 2 P ' - Q

R x = P ' ' - Q ' + R

Assim, se aplicarmos a equação novamente, porém agora para um fator integrante α , teremos a seguinte equação:

P ⋅ α ' ' + 2 P ' - Q ⋅ α ' + P ' ' - Q + R ⋅ α =

= P ⋅ α ' ' + 2 P ' - 2 P ' - Q ⋅ α ' + P ' ' - 2 P ' ' - Q ' + P ' ' - Q ' + R ⋅ α = 0

Resolvendo essa equação, vamos chegar que:

P ⋅ α ' ' + Q ⋅ α ' + R ⋅ α = 0

E se compararmos com a equação original, vamos ver que ambas são as mesma equação a menos de um fator integrante.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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