Enunciado

Em cada um dos problemas de 44 a 49, use os resultados do Problema 43 para determinar se o ponto no infinito é um ponto ordinário, singular regular ou singular irregular da equação diferencial dada.

47.

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - ν 2 y = 0 ,                 e q u a ç ã o   d e   B e s s e l

Passo 1

Fala galera!!

Queremos determinar se o ponto no infinito é um ponto singular ordinário, singular regular ou singular irregular da equação diferencial

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - ν 2 y = 0

Passo 2

Para resolver essa questão, primeiro, precisamos substituir ξ = 1 / x na equação diferencial. Pela solução do exercício 43, sabemos que a equação diferencial substituída está na forma:

P * ξ y ' ' + Q * ξ y ' ' + R * ξ y = 0

Onde

P * ξ = ξ 4 P 1 / ξ

Q * ξ = 2 ξ 3 P 1 / ξ - ξ 2 Q 1 / ξ

R * ξ = R 1 / ξ

Pela equação diferencial fornecida. Temos que P x = x 2 , Q x = x e R x = x 2 - ν 2 . Assim temos:

P * ξ = ξ 4 1 / ξ 2   = ξ 2

Q * ξ = 2 ξ 3 1 / ξ 2 - ξ 2 1 / ξ = 2 ξ - ξ = ξ

R * ξ = 1 / ξ 2 - ν 2 = 1 / ξ 2 - ν 2

Passo 3

Para que ξ = 0 seja um ponto comum, Q * ξ P * ξ e R * ξ P * ξ devem ser contínuos e ter expansões da série Taylor sobre ξ = 0 :

Q * ξ P * ξ = ξ ξ 2 = 1 ξ

Assim, temos que Q * ξ P * ξ não é continuo no ponto ξ = 0 . Portanto, ξ = 0 ou x = ∞ não é um ponto ordinário pois não é finito.

Passo 4

Para que ξ = 0 seja um ponto singular regular, ξ Q * ξ P * ξ e ξ 2 R * ξ P * ξ devem ter expansões de Taylor sobre ξ = 0 . Isso significa que eles devem atingir um limite finito quando ξ → 0 . Assim temos

lim ξ → 0 ⁡ ξ Q * ξ P * ξ = lim ξ → 0 ⁡ ξ ξ ξ 2 = lim ξ → 0 ⁡ 1 = 1

lim ξ → 0 ⁡ ξ 2 R * ξ P * ξ = lim ξ → 0 ⁡ ξ 2 1 / ξ 2 - ν 2 ξ 2 = lim ξ → 0 ⁡ 1 / ξ 2 - ν 2 = ∞

Como o limite é infinito, ξ = 0 não é um ponto singular regular. Portanto, é um ponto singular irregular.

Resposta

Não é um ponto ordinário.

É um ponto singular irregular.

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