Se h(x) = (raiz(x + 9) - 3) / x mostre que lim x → 0 ⁡ h x = 1 6 , mas que h(0) não está definida.

Passo 1

Neste exercício precisamos descobrir o limite para a função dada quando x está se aproximando de 0. Descoberto o valor do limite vamos avaliar a função h ( x ) no ponto x = 0 .

Para começar vamos resolver o limite.

Passo 2

Então precisamos resolver:

l i m x → 0   x + 9 - 3 x = l i m x → 0   x + 9 - 3 x . x + 9 + 3 x + 9 + 3 = l i m x → 0   x + 9 - 9 x ( x + 9 + 3 ) = l i m x → 0   1 ( x + 9 + 3 )

Pelo Teorema de Limite 9:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x lim x → a ⁡ g x = L M

l i m x → 0   1 ( x + 9 + 3 ) =   l i m x → 0   1 l i m x → 0 ( x + 9 + 3 )

Pelo Teorema de Limite 4:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x ∓ g ( x ) = L ∓ M

l i m x → 0   1 l i m x → 0 ( x + 9 + 3 ) = l i m x → 0   1 l i m x → 0 x + 9 + l i m x → 0   3 )

Usando o Teorema 10:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L ,   e n t ã o   l i m x → a f ( x ) = L

l i m x → 0   1 l i m x → 0 x + 9 + l i m x → 0   3 ) = l i m x → 0   1 l i m x → 0   x + 9 + l i m x → 0   3 )

Pelo Teorema 1:

lim x → a ⁡ m x - b = m a - b

l i m x → 0   x + 9 = 9

Usando o Teorema 2:

l i m x → 0   1 = 1

l i m x → 0   3 = 3

Então:

l i m x → 0   1 l i m x → 0   x + 9 + l i m x → 0   3 ) = 1 6

Passo 3

Agora precisamos achar h 0 :

h 0 = 0 + 9 - 3 0 = 0 0  

Concluindo, quando x = 0 a função apresenta uma determinação do tipo 0 0 , ou seja, a função não está definida neste ponto.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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