Enunciado

Se h (x) = (sqrt(x + 9) - 3)/(x) , mostre que underset(x -> 0)(lim) h (x) = (1)/(6) , mas que h ( 0 ) não está definida.

Passo 1

Neste exercício precisamos descobrir o limite para a função dada quando x está se aproximando de 0. Descoberto o valor do limite vamos avaliar a função h ( x ) no ponto x = 0 .

Para começar vamos resolver o limite.

Passo 2

Então precisamos resolver:

underset(x -> 0)(l i m) (sqrt(x + 9) - 3)/(x) = underset(x -> 0)(l i m) (sqrt(x + 9) - 3)/(x) . (sqrt(x + 9) + 3)/(sqrt(x + 9) + 3) = underset(x -> 0)(l i m) (x + 9 - 9)/(x ( sqrt(x + 9) + 3 )) = underset(x -> 0)(l i m) (1)/(( sqrt(x + 9) + 3 ))

Pelo Teorema de Limite 9:

Se underset(x -> a)(lim) f ( x ) = L e underset(x -> a)(lim) g ( x ) = M , e n t ã o (underset(x -> a)(lim) f (x))/(underset(x -> a)(lim) g (x)) = (L)/(M)

underset(x -> 0)(l i m) (1)/(( sqrt(x + 9) + 3 )) = (underset(x -> 0)(l i m) 1)/(underset(x -> 0)(l i m) ( sqrt(x + 9) + 3 ))

Pelo Teorema de Limite 4:

Se underset(x -> a)(lim) f ( x ) = L e underset(x -> a)(lim) g ( x ) = M , e n t ã o underset(x -> a)(lim) f (x) ∓ g ( x ) = L ∓ M

(underset(x -> 0)(l i m) 1)/(underset(x -> 0)(l i m) ( sqrt(x + 9) + 3 )) = (underset(x -> 0)(l i m) 1)/(underset(x -> 0)(l i m) sqrt(x + 9) + underset(x -> 0)(l i m) 3 ))

Usando o Teorema 10:

Se underset(x -> a)(lim) f ( x ) = L , e n t ã o underset(x -> a)(l i m) sqrt(f ( x )) = sqrt(L)

(underset(x -> 0)(l i m) 1)/(underset(x -> 0)(l i m) sqrt(x + 9) + underset(x -> 0)(l i m) 3 )) = (underset(x -> 0)(l i m) 1)/(sqrt(underset(x -> 0)(l i m) x + 9) + underset(x -> 0)(l i m) 3 ))

Pelo Teorema 1:

underset(x -> a)(lim) m x - b = m a - b

underset(x -> 0)(l i m) x + 9 = 9

Usando o Teorema 2:

underset(x -> 0)(l i m) 1 = 1

underset(x -> 0)(l i m) 3 = 3

Então:

(underset(x -> 0)(l i m) 1)/(sqrt(underset(x -> 0)(l i m) x + 9) + underset(x -> 0)(l i m) 3 )) = (1)/(6)

Passo 3

Agora precisamos achar h (0) :

h (0) = (sqrt(0 + 9) - 3)/(0) = (0)/(0)

Concluindo, quando x = 0 a função apresenta uma determinação do tipo (0)/(0) , ou seja, a função não está definida neste ponto.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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