Enunciado

Mostre que lim t → a ⁡ r t = b se e somente se para todo ε > 0 existe um número δ > 0 tal que

s e       0 < t - a < δ             e n t ã o           r t - b < ε

Passo 1

Galera, podemos reescrever algumas coisas assim:

r t = x t ,       y t ,       z ( t )

lim t → a ⁡ r t = l i m t → a   x t ,       l i m t → a   y t ,       l i m t → a   z t

b = b x ,       b y ,       b z

  r t - b = x t - b x ,       y t - b y ,       z t - b z

Passo 2

Show! Agora podemos reduzir essa definição vetorial de limites à definição que já conhecemos. Lembre-se que podemos afirmar o seguinte:

1 l i m t → a   x t = b x se e somente se para todo ε > 0 existe um número δ > 0 tal que

s e       0 < t - a < δ             e n t ã o           x t - b x < ε 3

(Sem perda de generalidade, pudemos dividir aquele último ε por 3 , e isso será útil mais tarde.)

Analogamente, podemos afirmar:

2 l i m t → a   y t = b y se e somente se para todo ε > 0 existe um número δ > 0 tal que

s e       0 < t - a < δ             e n t ã o           y t - b y < ε 3

3 l i m t → a   z t = b z se e somente se para todo ε > 0 existe um número δ > 0 tal que

s e       0 < t - a < δ             e n t ã o           z t - b z < ε 3

Passo 3

Agora, se a gente unir as três afirmações do passo anterior em uma só, fica equivalente a esta:

lim t → a ⁡ r t = b se e somente se para todo ε > 0 existe um número δ > 0 tal que

s e       0 < t - a < δ             e n t ã o           x t - b x < ε 3       e       y t - b y < ε 3       e       z t - b z < ε 3

Ou seja, só precisamos terminar de mudar a última frase para chegar aonde queremos. Então, note que, pelas propriedades de módulo, podemos escrever:

r t - b = x t - b x ,       y t - b y ,       z t - b z ≤ x t - b x + y t - b y + z t - b z < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε

Prontinho! Acabamos de concluir que a última frase que tínhamos escrito realmente implica:

r t - b < ε

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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