Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.1 - Ex. 51
Mostre que se e somente se para todo existe um número tal que
Passo 1
Galera, podemos reescrever algumas coisas assim:
Passo 2
Show! Agora podemos reduzir essa definição vetorial de limites à definição que já conhecemos. Lembre-se que podemos afirmar o seguinte:
se e somente se para todo existe um número tal que
(Sem perda de generalidade, pudemos dividir aquele último por , e isso será útil mais tarde.)
Analogamente, podemos afirmar:
se e somente se para todo existe um número tal que
se e somente se para todo existe um número tal que
Passo 3
Agora, se a gente unir as três afirmações do passo anterior em uma só, fica equivalente a esta:
se e somente se para todo existe um número tal que
Ou seja, só precisamos terminar de mudar a última frase para chegar aonde queremos. Então, note que, pelas propriedades de módulo, podemos escrever:
Prontinho! Acabamos de concluir que a última frase que tínhamos escrito realmente implica:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)