Enunciado

Seja ∑ a n uma série com termos positivos e seja r n = a n + 1 a n . Suponha que l i m n → ∞   r n = L < 1 , assim ∑ a n converge pelo Teste da Razão. Como habitualmente, faça R n ser o resto depois de n termos, isto é,

R n = a n + 1 + a n + 2 + a n + 3 + …

(a) Se r n for uma sequência decrescente e r n + 1 < 1 , mostre, pela soma de uma série geométrica, que

R n ≤ a n + 1 1 - r n + 1

(b) Se r n for uma sequência crescente, mostre que

R n ≤ a n + 1 1 - L

Passo 1

Galera, quando estamos falando de uma série geométrica, a razão entre termos consecutivos nos dá a razão q da série geométrica, de forma que a soma S dessa série quando q < 1 seria:

S = p r i m e i r o   t e r m o 1 - q

No caso desse exercício, temos que trazer a ideia de série geométrica pra uma série que não é necessariamente geométrica, mas você verá que é bastante análogo.

Passo 2

(a) Precisamos calcular, ou pelo menos, estabelecer uma desigualdade com a soma da série R n :

S = R n = a n + 1 + a n + 2 + a n + 3 + …

Parece estranho, mas é como se fosse a mesma coisa de uma série qualquer, começando com a n + 1 em vez de a 1 .

Agora, suponhamos que essa série seja geométrica. Então, a razão constante entre os termos consecutivos seria:

q = r n + 1 = a n + 2 a n + 1

A razão satisfaz q < 1 , pois o enunciado nos diz que a série só tem termos positivos e r n + 1 < 1 . Então, a soma seria:

R n = S = p r i m e i r o   t e r m o 1 - q = a n + 1 1 - r n + 1

Passo 3

Mas, não podemos afirmar que a série é geométrica, pois, a cada termo, a razão q diminui, já que r n é decrescente. Ou seja, se tínhamos um valor S para a soma de R n com a razão sendo constante, esse valor deve deve ser menor considerando uma razão que sempre está diminuindo. Então,

R n ≤ S

R n ≤ a n + 1 1 - r n + 1

Passo 4

(b) Agora, em vez de diminuir, a razão está crescendo, pois r n é uma sequência crescente. Sendo assim, se fizermos o cálculo da soma de uma série geométrica considerando a maior razão possível, ou seja, considerando l i m n → ∞   r n = L como razão, chegaríamos a um número maior do que R n   , pois no início de R n   , a razão seria menor. Então,

R n ≤ a n + 1 1 - L

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Teste a convergência ou divergência da série: ∑ n = 1 ∞ n ! n n 4 n
Teste a convergência ou divergência da série: ∑ n = 1 ∞ n n + 1 n 2
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ e - n . n !
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 2 ∞ - 2 n n + 1 5 n