1. Mostre que

sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/(k^2) = (4)/(3) sum_(k = 0)^(+ oo) (1)/((2 k + 1)^2)

Passo 1

Primeiramente vamos abrir o somatório:

sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/(k^2) = (1)/(1^2) + (1)/(2^2) + (1)/(3^2) + (1)/(4^2) + ...

Disso podemos perceber o seguinte:

sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/(k^2) = sum_(k = 1)^(+ oo) [(1)/((2 k - 1)^2) + (1)/(( 2 k )^2)] = underset(k = 1)(ubrace ((1)/(1^2) + (1)/(2^2))) + underset(k = 2)(ubrace ((1)/(3^2) + (1)/(4^2))) + ...

Passo 2

Portanto,

sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/(k^2) = sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/((2 k - 1)^2) + sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/(( 2 k )^2)

sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/((2 k - 1)^2) = sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/(k^2) - sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/(( 2 k )^2) = (1 - (1)/(4)) sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/(k^2)

Passo 3

Logo, temos que:

sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/((2 k - 1)^2) = (3)/(4) sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/(k^2)

Mas, note que:

sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/((2 k - 1)^2) = sum_(k = 0)^(+ oo) (1)/((2 k + 1)^2) =

= underset(k = 1)(ubrace ((1)/(1^2))) + underset(k = 2)(ubrace ((1)/(3^2))) + underset(k = 3)(ubrace ((1)/(5^2))) + ... = underset(k = 0)(ubrace ((1)/(1^2))) + underset(k = 1)(ubrace ((1)/(3^2))) + underset(k = 2)(ubrace ((1)/(5^2))) + ...

Resposta

Concluindo,

(3)/(4) sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/(k^2) = sum_(k = 0)^(+ oo) (1)/((2 k + 1)^2)

sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/(k^2) = (4)/(3) sum_(k = 0)^(+ oo) (1)/((2 k + 1)^2)

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