Enunciado

Mostre que

(a) y   =   x e - x satisfaz a equação x y '   =   ( 1   -   x ) y .

(b) y   =   x e - x 2 2     satisfaz a equação x y '   =   ( 1   -   x 2 ) y

Passo 1

(a)

Já que o enunciado fala de y ' , vamos começar derivando y

y ' = x e - x '

Usando a regra da derivada do produto:

y ' = x ' e - x + x e - x '

y ' = e - x +   x - x ' ( e - x )

Então:

y   =   e - x - x e - x = e - x ( 1 - x )

Passo 2

Agora vamos jogar dentro da equação x y '   =   ( 1   -   x ) y pra ver se de fato ela é satisfeita:

x y '   =   ( 1   -   x ) y

x [ e - x ( 1 - x ) ]   =   ( 1   -   x ) ( x e - x )

Se organizarmos melhor chegamos que:

x e - x 1 - x = x e - x ( 1 - x )

Chegamos numa igualdade, então mostramos que y   =   x e - x satisfaz a equação.

Passo 3

(b)

Vamos usar a mesma ideia da letra (a), então derivando y

y '   = ( x e - x 2 2 ) '

Usando a regra da derivada do produto:

y ' = x ' e - x 2 2 + x e - x 2 2 '  

y ' = e - x 2 2 + x ( - x 2 2 ) '   e - x 2 2

Então:

y '             =             e - x 2 2 - x 2 e - x 2 2           =           e - x 2 2 ( 1 - x 2 )

Passo 4

Agora vamos jogar dentro da equação x y '   =   ( 1   -   x ) y pra ver se de fato ela é satisfeita:

x y '   =   ( 1   -   x ) y

x [ e - x 2 2 ( 1 - x 2 ) ]   =   ( 1   -   x ) ( x e - x 2 2 )

Se organizarmos melhor chegamos que:

x e - x 2 2 ( 1 - x 2 ) = x e - x 2 2 ( 1 - x 2 )

Chegamos numa igualdade, então mostramos que y   =   x e - x 2 2   satisfaz a equação.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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