Mostre que

ln (n + 1) - ln n - (1)/(n + 1) = sum_(k = 2)^(oo) (- 1)^k (k - 1)/(k) (1)/(n^k) , n >= 2

Passo 1

O primeiro passo é escrever

ln (n + 1) - ln n - (1)/(n + 1) = ln ((n + 1)/(n)) - (1)/(n + 1)

Assim,

ln (n + 1) - ln n - (1)/(n + 1) = ln (1 + (1)/(n)) - (1)/(n) * (1)/(1 + (1)/(n))

No exercício 5(b) desta seção, mostramos que

ln ( n + 1 ) = ln n + sum_(k = 1)^(oo) (- 1)^(k + 1) (1)/(k n^k) , n >= 1

Com isso, podemos escrever

ln (1 + (1)/(n)) = sum_(k = 1)^(oo) (- 1)^(k + 1) (1)/(k n^k)

Com isso, já temos que

ln (n + 1) - ln n - (1)/(n + 1) = sum_(k = 1)^(oo) (- 1)^(k + 1) (1)/(k n^k) - (1)/(n) * (1)/(1 + (1)/(n))

Passo 2

Agora vamos olhar para

(1)/(1 + (1)/(n))

Vamos definir r = - (1)/(n) , de modo que

(1)/(1 + (1)/(n)) = (1)/(1 - r) , |r| < 1

Note que |r| = (1)/(n) < 1 pois n >= 2 . Com isso, podemos escrever a soma geométrica.

(1)/(1 - r) = sum_(k = 0)^(oo) r^k

Assim,

(1)/(1 + (1)/(n)) = sum_(k = 0)^(oo) (- (1)/(n))^k = sum_(k = 0)^(oo) (- 1)^k (1)/(n^k)

Portanto,

I = ln (n + 1) - ln n - (1)/(n + 1) = sum_(k = 1)^(oo) (- 1)^(k + 1) (1)/(k n^k) - (1)/(n) sum_(k = 0)^(oo) (- 1)^k (1)/(n^k)

Podemos escrever ainda:

I = sum_(k = 1)^(oo) (- 1)^(k + 1) (1)/(k n^k) - sum_(k = 0)^(oo) (- 1)^k (1)/(n^(k + 1))

Vamos olha para a segunda soma com cuidado e fazer a mudança de variáveis p = k + 1 :

sum_(k = 0)^(oo) (- 1)^k (1)/(n^(k + 1)) = sum_(p = 1)^(oo) (- 1)^(p - 1) (1)/(n^p)

Mas note que

(- 1)^(p - 1) = (- 1)^(p + 1)

Assim,

sum_(k = 0)^(oo) (- 1)^k (1)/(n^(k + 1)) = sum_(p = 1)^(oo) (- 1)^(p + 1) (1)/(n^p)

Logo,

I = sum_(k = 1)^(oo) (- 1)^(k + 1) (1)/(k n^k) - sum_(p = 1)^(oo) (- 1)^(p + 1) (1)/(n^p)

Por fim, podemos voltar com o índice k na segunda soma:

I = sum_(k = 1)^(oo) (- 1)^(k + 1) (1)/(k n^k) - sum_(k = 1)^(oo) (- 1)^(k + 1) (1)/(n^k)

Passo 3

Agora podemos juntar as somas:

I = sum_(k = 1)^(oo) (- 1)^(k + 1) ((1)/(k) - 1) (1)/(n^k)

Portanto,

I = sum_(k = 1)^(oo) (- 1)^(k + 1) ((1 - k)/(k)) (1)/(n^k)

Mas

(- 1)^(k + 1) (1 - k) = (- 1)^k * (- 1) (1 - k) = (- 1)^k (k - 1)

Assim,

I = sum_(k = 1)^(oo) (- 1)^k ((k - 1)/(k)) (1)/(n^k)

Por fim, note que para k = 1 o termo da soma se anula, de modo que podemos começar com k = 2 . Com isso, provamos que

ln (n + 1) - ln n - (1)/(n + 1) = sum_(k = 2)^(oo) (- 1)^k (k - 1)/(k) (1)/(n^k) , n >= 2

Resposta

Demonstração.

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