Seja y = φ(x), c x ∈ ]-r, r[ uma solução da equação

y' = x^2 + y^2

Satisfazendo a condição inicial y(0) = y₀, y₀ > 0. Prove que r < 1 / y_0.

Passo 1

Repare que a equação diferencial não é linear, então vamos tentar dar um jeito trabalhar com φ ( x ) , sabendo que ele é igual a y então vamos substituir na equação:

φ ' x = x 2 + φ 2 x

Agora, repare que podemos fazer a seguinte afirmação:

φ ' x ≥ φ 2 ( x )

Certo?

Passo 2

Beleza, agora partindo da desigualdade, podemos obter:

φ ' x φ 2 x ≥ 1

Como x ∈ ] - r ; r [ ele também está no intervalo [ 0 ; r [

Supondo então um t tal que,

0 ≤ t < r

podemos dizer o seguinte:

∫ 0 t φ ' x φ 2 x   d x   ≥ ∫ 0 x 1   d x

Resolvendo por substituição de variáveis:

u = φ x d u = φ ' x d x

Então,

∫ d u u 2 = ∫ u - 2 d u = u - 2 + 1 - 2 + 1 = - 1 u

Passo 3

Ou seja,

∫ 0 t φ ' x φ 2 x = - 1 φ x t 0

Portanto, retomando a desigualdade:

- 1 φ t + 1 φ 0 ≥ t

O enunciado nos disse que:

y = φ x   e   y 0 = y 0

Trivialmente isso significa que φ 0 = y 0

E isolando φ t :

- 1 φ t ≥ t + 1 y 0

Que é igual a:

φ t ≤ 1 1 y 0 - t

Ou seja,

0 ≤ t < 1 y 0

Como

0 ≤ t < r

Podemos concluir

r < 1 y 0

Resposta

Provamos que se tivermos uma solução do tipo

y = φ ( x )

Para a equação

y ' = x 2 + y 2

Com x ∈ ] - r ; r [

Então,

r < 1 y 0

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