Seja uma solução da equação
Satisfazendo a condição inicial Prove que
Passo 1
Repare que a equação diferencial não é linear, então vamos tentar dar um jeito trabalhar com , sabendo que ele é igual a então vamos substituir na equação:
Agora, repare que podemos fazer a seguinte afirmação:
Certo?
Passo 2
Beleza, agora partindo da desigualdade, podemos obter:
Como ele também está no intervalo
Supondo então um tal que,
podemos dizer o seguinte:
Resolvendo por substituição de variáveis:
Então,
Passo 3
Ou seja,
Portanto, retomando a desigualdade:
O enunciado nos disse que:
Trivialmente isso significa que
E isolando :
Que é igual a:
Ou seja,
Como
Podemos concluir
Resposta
Provamos que se tivermos uma solução do tipo
Para a equação
Com
Então,