Seja

a_n = (3 * 5 * 7 * ... * ( 2 n + 1 ))/(2 * 4 * 6 * ... * 2 n) * (1)/(sqrt(n))

Conclua que

underset(n -> oo)(lim) a_n > 1

Passo 1

No item (a), provamos que a_n é descrescente, isto é,

a_n + 1 <= a_n

No item (b), provamos que

a_n > e^((1)/(2) (1 + (1)/(2) + (1)/(3) + ... + (1)/(n) - ln n) - (1)/(8) (1 + (1)/(2^2) + (1)/(3^2) + ... + (1)/(n^2)))

Agora queremos provar que

underset(n -> oo)(lim) a_n > 1

Foi dado como dica para utilizar o resultado do problema 20:

underset(n -> oo)(lim) (ln n - sum_(k = 2)^n (1)/(k)) <= (1)/(2)

Vimos no item (b), que

ln a_n > (1)/(2) (1 + (1)/(2) + (1)/(3) + ... + (1)/(n) - ln n) - (1)/(8) (1 + (1)/(2^2) + (1)/(3^2) + ... + (1)/(n^2))

Podemos escrever ainda,

ln a_n > (1)/(2) - (1)/(2) (ln n - sum_(k = 2)^n (1)/(k)) - (1)/(8) (1 + (1)/(2^2) + (1)/(3^2) + ... + (1)/(n^2))

Assim,

underset(n -> oo)(lim) ln a_n > (1)/(2) - (1)/(2) underset(n -> oo)(lim) (ln n - sum_(k = 2)^n (1)/(k)) - (1)/(8) underset(n -> oo)(lim) (1 + (1)/(2^2) + (1)/(3^2) + ... + (1)/(n^2))

Ou ainda,

(1)/(2) underset(n -> oo)(lim) (ln n - sum_(k = 2)^n (1)/(k)) + (1)/(8) underset(n -> oo)(lim) (1 + (1)/(2^2) + (1)/(3^2) + ... + (1)/(n^2)) > (1)/(2) - underset(n -> oo)(lim) ln a_n

Como

underset(n -> oo)(lim) (ln n - sum_(k = 2)^n (1)/(k)) <= (1)/(2)

temos que

(1)/(2) underset(n -> oo)(lim) (ln n - sum_(k = 2)^n (1)/(k)) <= (1)/(4)

Além disso, sabemos que

underset(n -> oo)(lim) (1 + (1)/(2^2) + (1)/(3^2) + ... + (1)/(n^2)) = (pi^2)/(6)

Portanto,

(1)/(8) underset(n -> oo)(lim) (1 + (1)/(2^2) + (1)/(3^2) + ... + (1)/(n^2)) = (pi^2)/(48)

Assim,

(1)/(2) underset(n -> oo)(lim) (ln n - sum_(k = 2)^n (1)/(k)) + (1)/(8) underset(n -> oo)(lim) (1 + (1)/(2^2) + (1)/(3^2) + ... + (1)/(n^2)) <= (1)/(4) + (pi^2)/(48)

Portanto,

(1)/(4) + (pi^2)/(48) >= (1)/(2) underset(n -> oo)(lim) (ln n - sum_(k = 2)^n (1)/(k)) + (1)/(8) underset(n -> oo)(lim) (1 + (1)/(2^2) + (1)/(3^2) + ... + (1)/(n^2)) > (1)/(2) - underset(n -> oo)(lim) ln a_n

Logo,

(1)/(2) - underset(n -> oo)(lim) ln a_n < (1)/(4) + (pi^2)/(48)

Passo 2

Com isso, temos que

underset(n -> oo)(lim) ln a_n > (1)/(2) - (1)/(4) - (pi^2)/(48) = (1)/(4) - (pi^2)/(48) = (12 - pi^2)/(48) > 0

Assim, como o logaritmo é uma função contínua:

ln (underset(n -> oo)(lim) a_n) > 0

Assim,

underset(n -> oo)(lim) a_n > e^0 = 1

Portanto, provamos que

underset(n -> oo)(lim) a_n > 1

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro