Mostre que se ∑ n = 1 ∞ a n converge, então

∑ n = 1 ∞ 1 + sen ⁡ a n 2 n

Converge.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para este caso, vamos usar o teste da raíz (podemos usar também o teste do n-ésimo termo), mas por decisão, vamos utilizar o teste da raíz. Supondo que nós temos uma série ∑ a n , vamos definir

L = lim n → ∞ ⁡ a n n = lim n → ∞ ⁡ a n 1 n

Se L < 1 , a série é absolutamente convergente, caso L > 1 , a série é divergente e se caso L = 1 , o teste não é útil.

Passo 2

No problema, nós temos que

L = lim n → ∞ ⁡ 1 + sen ⁡ a n 2 n 1 n

Desenvolvendo os termos

L = lim n → ∞ ⁡ 1 + sen ⁡ a n 2

Com isso, nós temos que

L = 1 2 + 1 2 sin ⁡ lim n → ∞ ⁡ a n

Para esse caso,

L = 1 2 + 1 2 sen ⁡ 0 = 1 2 < 1

Portanto, a série é convergente!

Resposta

Série convergente!

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