Enunciado

Mostre que ∑ n = 2 ∞ ln ⁡ n q n p converge para - ∞ < q < ∞   e   p > 1 . (Sugestão: comparação no limite com ∑ n = 2 ∞ 1 n r para 1 < r < p . )

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

O enunciado nos dá a série

∑ n = 2 ∞ ln ⁡ n q n p

Para começarmos os trabalhos, vamos começar analisando o que acontece quando q = 0 :

∑ n = 2 ∞ ln ⁡ n 0 n p = ∑ n = 2 ∞ 1 n p

Reparem que temos aqui uma p-série. Como queremos que p > 1 , então ela converge.

Ok, agora vamos para q ≠ 0 . Vamos assumir que:

a n = ln ⁡ n q n p

b n = 1 n r

Se a gente for olhar, temos uma p-série para b n . E pelo valor de r , podemos assumir que:

r > 1 → b n   c o n v e r g e

r ≤ 1 → b n   d i v e r g e

Passo 2

Beleza, mas ainda não acabamos. Agora, vamos usar a sugestão do enunciado e fazer a comparação no limite:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n q n p 1 n r

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n q n p 1 n r = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n q n p - r

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 63-68, use os resultados dos Exercícios 61 e 62 para determinar se cada uma das séries converge ou diverge. ∑ n = 2 ∞ ln ⁡ n 3 n 4
Nos Exercícios 63-68, use os resultados dos Exercícios 61 e 62 para determinar se cada uma das séries converge ou diverge. ∑ n = 2 ∞ 1 n 1 , 1 ln ⁡ n 3
Nos Exercícios 63-68, use os resultados dos Exercícios 61 e 62 para determinar se cada uma das séries converge ou diverge. ∑ n = 2 ∞ ln ⁡ n 1000 n 1,001
Nos Exercícios 15-48, determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas. ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 n
Nos Exercícios 15-48, determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas. ∑ n = 1 ∞ - 1 n s e nn n 2