Enunciado

  1. Normal à curva Determine uma equação para a reta perpendicular à tangente da curva y = x 3 - 4 x + 1 no ponto 2,1 .
  2. Menor coeficiente angular Qual é o menor coeficiente angular dessa curva? Em qual ponto ela apresenta tal coeficiente angular?
  3. Tangentes com coeficiente angular especificado Determine equações para as tangentes à curva nos pontos em que o coeficiente angular da curva seja 8.

Passo 1

A letra a.) do exercício pede para acharmos uma reta que seja perpendicular à tangente da curva y x . Então, a primeira coisa a ser feita é encontrar a derivada de y x

y ' = x 3 - 4 x + 1 '

y ' = 3 x 3 - 1 - 4 x 1 - 1 + 0

y ' = 3 x 2 - 4

Ok, encontramos a derivada e agora? Precisamos achar a reta perpendicular ( s x ) e para uma reta ser perpendicular à outra, o coeficiente angular dela é igual a

m 2 = - 1 m 1

Ou seja,

s ' = - 1 y '

s ' = - 1 3 x 2 - 4

Agora precisamos substituir o valor de x dado em s '

s ' = - 1 3 ∙ 2 2 - 4

s ' = - 1 3 ∙ 4 - 4 = - 1 8

Depois a gente substitui na equação da reta

y = a x + b

y = - x 8 + b

Substituindo o ponto 2,1

1 = - 2 8 + b

b = 5 4

Assim,

y = - x 8 + 5 4

Passo 2

Na letra b.) é pedido o menor coeficiente angular dessa curva, para isso precisamos achar o ponto de mínimo de y ' x . Como y ' x é uma função de segundo grau, podemos encontrar o valor de y ' x mínimo

y ' x m i n = - ∆ 4 a = - b 2 - 4 a c 4 a = - 0 2 - 4 ∙ 3 ∙ - 4 4 ∙ 3 = - 16 ∙ 3 4 ∙ 3 = - 4

Para achar em qual ponto de x temos o menor valor do coeficiente angular basta substituir o valor encontrado em y ' x

- 4 = 3 x 2 - 4

3 x 2 = 0

x = 0

Para encontrar o valor de y

y = 0 3 - 4 ∙ 0 + 1 = 1

Passo 3

Já na letra c.), a questão nos dá o coeficiente angular igual a 8 e pede para determinar as equações para as tangentes à curva. Então precisamos encontrar inicialmente os valores de x onde isso acontece.

8 = 3 x 2 - 4

3 x 2 = 12

x 2 = 4

x = ± 2

Agora precisamos achar os valores de y

y = x 3 - 4 x + 1

y 2 = 2 3 - 4 ∙ 2 + 1 = 8 - 8 + 1 = 1

y - 2 = - 2 3 - 4 ∙ - 2 + 1 = - 8 + 8 + 1 = 1

Depois, a gente substitui na equação da reta tangente

y - f a = f ' x x - a

y 1 - 1 = 8 x - 2

y 1 - 1 = 8 x - 16

y 1 = 8 x - 1 5

y 2 - 1 = 8 x + 2

y 2 - 1 = 16 x + 16

y 2 = 16 x + 1 7

Resposta

  1. y = - x 8 + 5 4
  2. m = - 4 em 0,1
  3. y 1 = 8 x - 15 ,   y 2 = 16 x + 17  
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43. b) Achelim h → 0 ⁡ s e n π 3 + h - s e n π 3 h , Interpretando-o como uma derivada.
43. a) Use uma calculadora para tabular até quatro casas decimais, valores de s e n π 3 + h - s e n π 3 h Quando hé1 ;0,5 ;0,1 ;0,01 ;0,001 ;ehé- 1 ;- 0,5 ;- 0,1 ;- 0,01 ;- 0,001 é é . A que o quocien
44. b) Ache lim h → 0 ⁡ c o s 5 π 6 + h - c o s 5 π 6 h , Interpretando-o como uma derivada.
46. b) Ache lim h → 0 ⁡ sec ⁡ π 6 + h - sec ⁡ π 6 h Interpretando-o como uma derivada.