Enunciado

Obtenha um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais e dê suas equações. Identifique (se houver) os pontos em que o gráfico cruza uma assíntota horizontal. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

3 x + 1 2 x - 1 2

Passo 1

Vamos lá, aqui como o numerador e o denominador não têm fatores comuns, vamos utilizar alguns passos para facilitar obter o gráfico da função:

Primeiro vamos ver se a função possui alguma simetria em relação ao eixo y , vamos substituir x por - x e vamos ver se a equação muda:

3 x + 1 2 x - 1 2 = 9 x 2 + 6 x + 1 x 2 - 2 x + 1

3 - x + 1 2 - x - 1 2 = - 3 x + 1 2 - x - 1 2 = 9 x 2 - 6 x + 1 x 2 - 2 x + 1

A equação mudou, então não temos uma simetria no eixo y .

Passo 2

Agora vamos encontrar os cortes com os eixos coordenados fazendo y = 0 e x = 0 :

y = 3 x + 1 2 x - 1 2 → 0 = 3 x + 1 2 x - 1 2 → 0 = 3 x + 1 2 → 3 x + 1 = 0 → x = - 1 3

y = 3 ⋅ 0 + 1 2 0 - 1 2 = 1 1 = 1

Pronto, sabemos onde que a função corta o eixo x o eixo y .

Passo 3

Próximo passo é encontrar os valores de x com os quais o denominador é igual a zero, nesses lugares o gráfico tem uma assíntota vertical, ou seja, vai aumentando, sempre se aproximando desse valor, mas nunca toca nesse ponto:

x - 1 2 = 0 → x - 1 2 = 0 → x - 1 = 0 → x = 1

Temos então que possui assíntota vertical em x = 1 .

Passo 4

Próximo passo é analisar o sinal de f x , vamos analisar os lugares em que f x pode trocar de sinal, vamos ver os pontos de corte com o eixo x e nas assíntotas verticais achando intervalos e analisando se f x é positivo ou negativo nesses intervalos:

Temos então que a função é toda positiva.

Passo 5

Agora vamos determinar o comportamento no infinito do gráfico calculando os limites de f x quando x → + ∞ e quando x → - ∞ , e se algum desses limites tiverem um valor finito L , então a reta y = L é uma assíntota horizontal:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x + 1 2 x - 1 2 = lim x → + ∞ ⁡ 9 x 2 + 6 x + 1 x 2 - 2 x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 9 + 6 x + 1 x 2 x 2 1 - 2 x + 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 9 + 6 x + 1 x 2 1 - 2 x + 1 x 2 = 9

lim x → - ∞ ⁡ 3 x + 1 2 x - 1 2 = lim x → - ∞ ⁡ 9 x 2 + 6 x + 1 x 2 - 2 x + 1 = lim x → - ∞ ⁡ x 2 9 + 6 x + 1 x 2 x 2 1 - 2 x + 1 x 2 = lim x → - ∞ ⁡ 9 + 6 x + 1 x 2 1 - 2 x + 1 x 2 = 9

Pronto, temos então uma assíntota horizontal em y = 9 .

Passo 6

Vamos encontrar f ' x e f ' ' x :

f ' x = 2 ⋅ 3 x + 1 3 + 0 x - 1 2 - 3 x + 1 2 ⋅ 2 ⋅ x - 1 1 - 0 x - 1 4 =

= 6 3 x + 1 x - 1 - 2 3 x + 1 2 x - 1 3 = 6 3 x 2 - 3 x + x - 1 - 2 9 x 2 + 6 x + 1 x - 1 3 =

= 6 3 x 2 - 2 x - 1 - 2 9 x 2 + 6 x + 1 x - 1 3 = 18 x 2 - 12 x - 6 - 18 x 2 - 12 x - 2 x - 1 3 = - 24 x - 8 x - 1 3

Fazendo f ' x = 0 vamos ver se possui algum ponto crítico, onde a derivada é zero, ou onde ela não existe:

- 24 x - 8 x - 1 3 = 0 → - 24 x - 8 = 0 → x = - 1 3

Agora vamos usar o Teste da Derivada Primeira:

Se f ' x > 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 e f ' x < 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f tem um máximo relativo em x 0 .

Se f ' x < 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 e f ' x > 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f tem um mínimo relativo em x 0 .

E se f ' x tiver o mesmo sinal tanto em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 quanto em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f não tem extremo relativo em x 0 .

Vamos então analisar as derivadas no intervalo - 0,4 ; - 0,2 que contém - 1 3 :

f ' - 0,4 = - 24 - 0,4 - 8 - 0,4 - 1 3 = - 0,58

f ' - 0,2 = - 24 - 0,2 - 8 - 0,2 - 1 3 = 1,85

Pronto, temos então que f ' - 0,4 < 0 e f ' - 0,2 > 0 , então f tem um mínimo relativo em - 1 3 .

Passo 7

E por último vamos calcular f ' ' x :

f ' ' x = - 24 - 0 x - 1 3 - - 24 x - 8 3 x - 1 2 1 - 0 x - 1 6 =

= - 24 x - 1 + 72 x + 24 x - 1 4 = - 24 x + 24 + 72 x + 24 x - 1 4 = 48 x + 48 x - 1 4

Vamos então achar se possui algum ponto de inflexão e analisar os sinais:

48 x + 48 x - 1 4 = 0 → 48 x + 48 = 0 → x = - 1

Agora vamos analisar o sinal de f ' ' x ao redor de x = - 1 :

Como trocou de sinal em x = - 1 , temos um ponto de inflexão, onde a concavidade muda de côncava para baixo para côncava para cima.

Passo 8

Pronto, agora com todas essas informações fica mais simples de esboçar o gráfico, vamos lá:

Resposta

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