Enunciado

Obtenha um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais e dê suas equações. Identifique (se houver) os pontos em que o gráfico cruza uma assíntota horizontal. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

3 + x + 1 x - 1 4

Passo 1

Vamos lá, aqui como o numerador e o denominador não têm fatores comuns, vamos utilizar alguns passos para facilitar obter o gráfico da função:

Primeiro vamos ver se a função possui alguma simetria em relação ao eixo y , vamos substituir x por - x e vamos ver se a equação muda:

3 + - x + 1 - x - 1 4

A equação mudou, então não temos uma simetria no eixo y .

Passo 2

Agora vamos encontrar os cortes com os eixos coordenados fazendo y = 0 e x = 0 :

y = 3 + x + 1 x - 1 4 → 0 = 3 + x + 1 x - 1 4 → - 3 = x + 1 x - 1 4 → - 3 x - 1 4 = x + 1

y = 3 + 0 + 1 0 - 1 4 = 3 + 1 1 = 4

Pronto, sabemos que a função não corta o eixo x , pois não possui raiz real, e sabemos onde corta o eixo y .

Passo 3

Próximo passo é encontrar os valores de x com os quais o denominador é igual a zero, nesses lugares o gráfico tem uma assíntota vertical, ou seja, vai aumentando, sempre se aproximando desse valor, mas nunca toca nesse ponto:

x - 1 4 = 0 → x - 1 4 = 0 → x - 1 = 0 → x = 1

Temos então que possui assíntota vertical em x = 1 .

Passo 4

Próximo passo é analisar o sinal de f x , vamos analisar os lugares em que f x pode trocar de sinal, vamos ver os pontos de corte com o eixo x e nas assíntotas verticais achando intervalos e analisando se f x é positivo ou negativo nesses intervalos:

Temos então que a função é toda positiva.

Passo 5

Agora vamos determinar o comportamento no infinito do gráfico calculando os limites de f x quando x → + ∞ e quando x → - ∞ , e se algum desses limites tiverem um valor finito L , então a reta y = L é uma assíntota horizontal:

lim x → + ∞ ⁡ 3 + x + 1 x - 1 4 = lim x → + ∞ ⁡ 3 + x 1 + 1 x x 1 - 1 x 4 = lim x → + ∞ ⁡ 3 + x 1 + 1 x x 4 1 - 1 x 4 =

= lim x → + ∞ ⁡ 3 + 1 + 1 x x 3 1 - 1 x 4 = 3

lim x → - ∞ ⁡ 3 + x + 1 x - 1 4 = lim x → - ∞ ⁡ 3 + x 1 + 1 x x 1 - 1 x 4 = lim x → - ∞ ⁡ 3 + x 1 + 1 x x 4 1 - 1 x 4 =

= lim x → - ∞ ⁡ 3 + 1 + 1 x x 3 1 - 1 x 4 = 3

Pronto, temos então uma assíntota horizontal em y = 3 .

Passo 6

Vamos encontrar f ' x e f ' ' x :

f ' x = 0 + 1 + 0 x - 1 4 - x + 1 ⋅ 4 ⋅ x - 1 3 1 - 0 x - 1 8 =

= x - 1 - 4 x + 4 x - 1 5 = x - 1 - 4 x - 4 x - 1 5 = - 3 x - 5 x - 1 5

Fazendo f ' x = 0 vamos ver se possui algum ponto crítico, onde a derivada é zero, ou onde ela não existe:

- 3 x - 5 x - 1 5 = 0 → - 3 x - 5 = 0 → x = - 5 3

Agora vamos usar o Teste da Derivada Primeira:

Se f ' x > 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 e f ' x < 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f tem um máximo relativo em x 0 .

Se f ' x < 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 e f ' x > 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f tem um mínimo relativo em x 0 .

E se f ' x tiver o mesmo sinal tanto em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 quanto em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f não tem extremo relativo em x 0 .

Vamos então analisar as derivadas no intervalo - 1,8 ; - 1,5 que contém - 1 3 :

f ' - 1,8 = - 3 - 1,8 - 5 - 1,8 - 1 5 = - 2,32 ⋅ 10 - 3

f ' - 1,5 = - 3 - 1,5 - 5 - 1,5 - 1 5 = 5 , 15 ⋅ 10 - 3

Pronto, temos então que f ' - 1,8 < 0 e f ' - 1 , 5 > 0 , então f tem um mínimo relativo em - 5 3 .

Passo 7

E por último vamos calcular f ' ' x :

f ' ' x = - 3 - 0 x - 1 5 - - 3 x - 5 5 x - 1 4 1 - 0 x - 1 10 =

= - 3 x - 1 - 5 - 3 x - 5 x - 1 6 = - 3 x + 3 + 1 5 x + 25 x - 1 6 = 12 x + 2 8 x - 1 6

Vamos então achar se possui algum ponto de inflexão e analisar os sinais:

12 x + 28 x - 1 6 = 0 → 12 x + 2 8 = 0 → x = - 7 3

Agora vamos analisar o sinal de f ' ' x ao redor de x = - 7 3 :

Como trocou de sinal em x = - 7 3 , temos um ponto de inflexão, onde a concavidade muda de côncava para baixo para côncava para cima.

Passo 8

Pronto, agora com todas essas informações fica mais simples de esboçar o gráfico, vamos lá:

Resposta

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Represente graficamente as equações dos Exercícios 9-58 seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos loc
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