Enunciado

Olhando para o gráfico, estude a variação do sinal de f ( x ) .

h ) f x = x 2 + 2 x - 6

Passo 1

Para fazer o estudo do sinal primeiro vamos começar pelo esboço dessa função!

Ela é uma função de segundo grau, portanto a cara dela é de uma parábola. Para esboçar uma parábola precisamos determinar quatro pontos principais:

  • As duas raízes (onde o gráfico corta o eixo x   ∴ f x = 0 );
  • O ponto do termo independente (onde o gráfico corta o eixo y   ∴ f ( 0 ) )
  • E o vértice: que mostra onde o gráfico vai apresentar o valor máximo (se a parábola tiver boca para baixo ( a < 0 ) ) ou um mínimo (se a parábola tiver boca para cima ( a > 0 ) ).

Vamos lá?

Passo 2

Primeiro as raízes: f x = 0

x 2 + 2 x - 6 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara com a = 1 ,   b = 2 ,   c = - 6 temos:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 2 ± 2 2 - 4.1 . - 6 2.1

x = - 1 ± 7

Assim os dois primeiros pontos são: ( - 1 + 7 , 0 ) e ( - 1 - 7 , 0 ) .

Agora vamos pros outros dois? Bola lá! O ponto onde a função corta o eixo y é onde x = 0 :

f 0 = 0 2 + 2.0 - 6 = - 6

Então o ponto no qual a função cruza o eixo y é o ( 0 , - 6 ) .

Passo 3

Por último o vértice:

x v = - b 2 a = - 2 2.1 = - 1

y v = - Δ 4 a = - 28 4.1 = - 7

Assim temos o vértice ( - 1 , - 7 ) . Como o coeficiente a é maior do que zero, a parábola tem boca para cima. Juntando os quatro pontos, podemos construir o gráfico:

Beleza! Agora sim podemos analisar o sinal da função!

A função assume valores positivos quando está acima do eixo x , e valores negativos quando está abaixo.

Sendo assim temos:

f x ≥ 0 : x ≤ - 1 + 7   o u   x ≥ - 1 + 7

f x ≤ 0 :   - 1 - 7 ≤ x ≤ - 1 + 7

Certo? Vamos pra próxima?

Resposta

f x ≥ 0 : x ≤ - 1 + 7   o u   x ≥ - 1 + 7

f x ≤ 0 :   - 1 - 7 ≤ x ≤ - 1 + 7

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