Enunciado

Olhando para o gráfico, estude a variação do sinal de f ( x ) .

c ) f x = x 2 + x + 1

Passo 1

Primeiro vamos começar pelo esboço dessa função. Ela é uma funçãod e segundo grau, portanto a cara dela é de uma parábola. Para esboçar uma parábola precisamos determinar quatro pontos principais: as duas raíses, o ponto onde a função corta o eixo y e o vértice. Vamos lá?

Primeiro as raízes: f x = 0

x 2 + x + 1 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara com a = 1 ,   b = 1 ,   c = 1 temos:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - ( 1 ) ± ( 1 ) 2 - 4.1 . ( 1 ) 2.1

Xiiii! Aqui Δ < 0 e isso significa que essa função não admite raízes reais! A parábola vai estar “voando”, mas tudo bem! Isso só significa que a função assme valores positivos para qualquer valor de x ! Mas vamos terminar de determinar os pontos e esboçar o gráfico para confirmar isso, ok?

Passo 2

Agora vamos pros outros dois? Bola lá! O ponto onde a função corta o eixo y é onde x = 0 :

f 0 = 0 2 + 0 + 1 = 1

Então o ponto no qual a função cruza o eixo y é o ( 0,1 ) .

Passo 3

Por último o vértice:

x v = - b 2 a = - ( 1 ) 2.1 = - 1 2

y v = - Δ 4 a = - ( - 3 ) 4.1 = 3 4

Assim temos o vértice ( - 1 2 , 3 4 ) . Como o coeficiente a é maior do que zero, a parábola tem boca para cima. Juntando os quatro pontos, podemos construir o gráfico:

Beleza! Agora sim podemos analisar o sinal da função!

A função assume valores positivos quando está acima do eixo x , e valores negativos quando está abaixo.

Sendo assim temos:

f x ≥ 0 : p a r a   q u a l q u e r   v a l o r   d e   x

Certo? Vamos pra próxima?

Resposta

f x ≥ 0 : p a r a   q u a l q u e r   v a l o r   d e   x

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