Enunciado

Onde a reta normal ao paraboloide z = x 2 + y 2 no ponto ( 1 ,   1 ,   2 ) intercepta o paraboloide uma segunda vez?

Passo 1

A questão fornece um paraboloide z = x 2 + y 2 e pede para acharmos onde a reta normal a essa superfície no ponto ( 1 ,   1 ,   2 ) a intercepta. Para isso, o primeiro passo é achar a equação dessa reta normal!

Para resolver isso vamos o seguinte truque: podemos interpretar o paraboloide como a superfície de nível 0 da seguinte função de três variáveis:

f x , y , z = x 2 + y 2 - z

Como o gradiente dessa função é orotogonal às superfícies de nível, ele será o vetor diretor da reta normal! Tomando o gradiente:

∇ f x , y , z = ( 2 x ,   2 y ,   - 1 )

No ponto ( 1 ,   1 ,   2 ) :

∇ f 1 ,   1 ,   2 = ( 2 ,   2 ,   - 1 )

Assim, a equação da reta será

x ,   y ,   z = 1 ,   1 ,   2 + t   ∇ f ( 1 ,   1 ,   2 )

Portanto,

x ,   y ,   z = 1 ,   1 ,   2 + t   2 ,   2 ,   - 1 = ( 1 + 2 t ,   1 + 2 t ,   2 - t )

Passo 2

Da equação da reta, tiramos

x = 1 + 2 t y = 1 + 2 t z = 2 - t

Como queremos achar a interseção dessa reta com o paraboloide, vamos substituir essas equação na equação do paraboloide:

z = x 2 + y 2 ⇒ 2 - t = 1 + 2 t 2 + 1 + 2 t 2

Logo,

2 - t = 2 + 8 t + 8 t 2 ⇒ 8 t 2 + 9 t = 0 ⇒ t 8 t + 9 = 0

A solução t = 0 é o próprio ponto ( 1 ,   1 ,   2 ) . Mas como estamos procurando o outro ponto:

t = - 9 8

Assim,

x = y = 1 + 2 ⋅ - 9 8 = 1 - 9 4 = - 5 4

z = 2 - - 9 8 = 2 + 9 8 = 25 8

Portanto, o ponto procurado é

- 5 4 ,   - 5 4 , 25 8

Resposta

- 5 4 ,   - 5 4 , 25 8

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