Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 59
Onde a reta normal ao paraboloide no ponto intercepta o paraboloide uma segunda vez?
Passo 1
A questão fornece um paraboloide e pede para acharmos onde a reta normal a essa superfície no ponto a intercepta. Para isso, o primeiro passo é achar a equação dessa reta normal!
Para resolver isso vamos o seguinte truque: podemos interpretar o paraboloide como a superfície de nível da seguinte função de três variáveis:
Como o gradiente dessa função é orotogonal às superfícies de nível, ele será o vetor diretor da reta normal! Tomando o gradiente:
No ponto :
Assim, a equação da reta será
Portanto,
Passo 2
Da equação da reta, tiramos
Como queremos achar a interseção dessa reta com o paraboloide, vamos substituir essas equação na equação do paraboloide:
Logo,
A solução é o próprio ponto . Mas como estamos procurando o outro ponto:
Assim,
Portanto, o ponto procurado é