1.

Encontre a derivada direcional de f x , y , z = x y + y 2 z no ponto P = 7 , - 2,1 na direção do vetor v = 2,2 , 1 .

  1. 2
  2. - 2
  3. 6
  4. - 6
  5. 0
  6. Nenhuma das demais alternativas
Resolução
2.

Seja uma função f x , y , z diferenciável no ponto x 0 , y 0 , z 0 . Ele possui a seguinte derivada parcial em relação a x

∂ f ∂ x x 0 , y 0 , z 0 = 1

Sabendo que a derivada direcional dessa função na direção u = 1,2 , 3 é

D u = 5

E além disso a derivada direcional desta mesma função na direção v = 3 , - 2,1 é

D v = 4

Determine o valor do vetor gradiente da função f x , y , z no ponto x 0 , y 0 , z 0 .

Resolução
3.

Determine a taxa de variação de f x , y , z = x y z + e 2 x + y no ponto P 0 = - 1,2 , 1 na direção do vetor u = 1,1 , 2 .

Resolução
4.

A temperatura de uma chapa plana é dada por T x , y = x 2 + y 2 , com x e y em c m e T em ℃ . Calcule de quanto ela varia aproximadamente, se caminharmos 1 c m a partir do ponto 3,4 na direção do vetor que faz um ângulo θ   com o semi-eixo x positivo, se:

  1. θ = 30 °
  2. θ = 210 °
Resolução
5.

Sejam

f x , y = x 3 x 2 + y 2 x , y ≠ 0,0 0 x , y = 0,0

E

u = 1,1

  1. Calcule a derivada direcional em u pela definição em 0,0
  2. Calcule a derivada direcional em u pela fórmula do produto escalar em 0,0
  3. Justifique porque os valores encontrados são diferentes.
Resolução
6.

Encontre a derivada direcional de f x , y , z = x y + y 2 z no ponto P = 7 , - 2,1 na direção do vetor v = 2,2 , 1 .

  1. 2
  2. - 2
  3. 6
  4. - 6
  5. 0
  6. Nenhuma das demais alternativas
Resolução
7.

Seja f x , y uma função diferenciável no ponto x 0 , y 0 tal que

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = 1

E

D 2 2 , 2 2 f x 0 , y 0 = 0

Quanto vale D - 2 2 , 2 2 f x 0 , y 0

  1. - 2
  2. 2
  3. - 1
  4. 2 / 2
  5. Nenhuma das outras alternativas
Resolução
8.

Seja z = f x , y uma função diferenciável no ponto 1,2 e considere os vetores u = 2 2 , 2 2 e v = 2 2 , - 2 2 .

  1. Sabendo-se que
  2. D u f 1,2 = 1           e           D v f 1,2 = 3

    calcule f x 1,2 e f y 1,2

  3. Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 1,2 , 3 , onde f 1,2 = 3 .
  4. Considere uma curva no plano parametrizada por

r t = x t , 2 + t + t 2 ,       t ∈ R

Onde x t é uma função diferenciável tal que x 0 = 1 . Sabendo-se que d z d t em t = 0 é 2 2 , calcule x ` 0 .

Resolução
9.

Encontre a derivada direcional de

f x , y , z = 2 x y - z ²

no ponto ( 2 , - 1 ,   1 ) na direção do vetor u = ( 2 ,   2 ,   1 ) .

(a) 4 3

(b) 1

(c) 2 3

(d) 2

(e) 6

Resolução
10.

Encontre a derivada direcional de

f x , y , z = x 2 y z - y 2 z - x z

no ponto ( 1,2 , - 1 ) na direção do vetor u → = i → - 2 j → + 2 k → .

(a) - 6

(b) - 11 3

(c) - 17 3

(d) 1 3

(e) Nenhuma das outras alternativas

Resolução
11.

Seja f ( x , y ) uma função diferenciável no ponto ( 1,2 ) . Sabendo que a derivada direcional de f no ponto ( 1,2 ) , segundo a direção do vetor ( 1,1 ) , é 2 , e que f x 1,2 = 3 , quanto vale f y ( 1,2 ) ?

(a) 2 - 3

(b) 2 3

(c) 2 - 3 2

(d) - 1

(e) a informação é insuficiente

Resolução
12.

Sejam u = 1 2 , 1 2 e v = 1 5 , 2 5 . Sabendo que f ( x , y ) é uma função diferenciável tal que

∂ f ∂ u 0,0 = 1     ∂ f ∂ v 0,0 = 2 ,

podemos afirmar que:

(a) ∇ f 0,0 = 2 2 - 2 5 i + 2 5 - 2 j .

(b) ∇ f 0,0 = 5 - 2 i + 5 - 2 j .

(c) ∇ f 0,0 = 2 - 5 i + 5 - 2 j .

(d) ∇ f 0,0 = 5 - 2 i + 2 2 - 5 j .

(e) ∇ f 0,0 = 2 2 - 5 i + 2 5 - 2 j .

Resolução
13.

A função f : R 2 → R é diferenciável em 5 , - 1 e a parábola x = 2 y 2 - 3 y é a curva de nível 2 de f . Sabe-se ainda que a imagem da curva

γ t = t 2 + 1 , - t + 1 , t 2 - t + 2 t 2 - t       t > 1

está contida em f .

Determine o vetor ∇ f 5 , - 1 e calcule a derivada direcional de f em 5 , - 1 e na direção e sentido do versor de v → = - 1,1 .

Resolução
14.

Dentre as funções abaixo, existe uma função f tal que δ f δ u → 0,0 existe para todo vetor unitário u → e f não é contínua em 0,0 .

I   f x , y = y 3 x 2 + y 2   s e   x , y ≠ 0,0   0   ,     s e   x , y = 0,0

I I   f x , y = x 2 y x 4 + y 2   s e   x , y ≠ 0,0   0   ,     s e   x , y = 0,0

I I I   f x , y = 2 x 2 + 5 y 2

  1. Prove que a função escolhida não é contínua em 0,0 .
  2. Seja u → = ( a , b ) um vetor unitário. Calcule δ f δ u → 0,0 para a função escolhida.
Resolução
15.

Seja a função f x , y = x 3 + x y ² 3

  1. Determine ∂ f ∂ u → ( 0,0 ) para todo vetor unitário  u → = a , b .
  2. É f diferenciável em ( 0,0 ) ? JUSTIFIQUE!
  3. Seja q ≠ 0 . Existe ∂ f ∂ x ( 0 , q ) ?
  4. Em que pontos de R ² é f diferenciável? JUSTIFIQUE!
Resolução
16.

Seja

f x , y = x 2 sen ⁡ ( x + y ) 2 x 2 + y 2     s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0       s e   x , y = ( 0,0 )

  1. Determine as funções ∂ f ∂ x 0,0 e ∂ f ∂ y 0.0 .
  2. f é diferenciável em ( 0,0 ) ?
  3. Calcule ∂ f ∂ u → 0,0 para u → = 2 2 , 2 2
Resolução
17.

A temperatura (em graus Celsius ) em uma placa de metal é dada por T x , y = 36 - 2 x 2 - 4 y ² , onde x e y são medidos em centímetros. Um objeto está no ponto P = ( 2,1 ) .

Se o objeto seguir na direção do vetor v = ( 1,1 ) , ele estará se aquecendo ou esfriando? (Justifique!)

Resolução
18.

A temperatura (em graus Celsius ) em uma placa de metal é dada por T x , y = 36 - 2 x 2 - 4 y ² , onde x e y são medidos em centímetros. Um objeto está no ponto P = ( 2,1 ) .

Determine os vetores unitários u de modo que a taxa de variação de T no ponto P na direção de u seja dada por - 8 ℃ / c m .

Resolução
19.

Sejam a função

f x , y = 2 x 3 - 3 y 2

E x 0 , y 0 um ponto em R 2 .

Determine os pontos ( x 0 , y 0 ) que satisfazem as duas condições abaixo:

  1. ∇ f ( x 0 , y 0 ) e paralelo à reta tangente a curva x 3 y - 2 x y 3 + x y + y 2 - 1 = 0 no ponto ( 1 , - 1 )
  2. ∂ f ∂ v → x 0 , y 0 = 4 5 , onde v → é o versor do vetor ( 2,1 )
Resolução
20.

Determine a derivada direcional da função g x , y , z = x e y + y e z + z e x no ponto 0,0 , 0 na direção do vetor v = 5 i + j - 2 k .

Resolução
21.

Considere a função:

f x , y = x + y , s e   x y = 0 k , c a s o   c o n t r á r i o

Em que k é um número real.

  1. Determine as derivadas parciais de primeira ordem de f em 0,0 .
  2. É possível escolher k de modo que f seja contínua em 0,0 ? No caso afirmativo, qual deve ser o valor de k ?
  3. Mostre que f , com k = 1 , não possui derivada direcional em 0,0 na direção de um vetor v = a , b , com a 2 + b 2 = 1 e a b ≠ 0 .
  4. f é diferenciável em ( 0,0 ) quando k = 1 ? Justifique!
Resolução
22.

Considere o vetor unitário u = 3 2 , 1 2 e a função:

f x , y = x y 2 x 2 + y 4 , s e   x , y ≠ 0,0   0 , s e   x , y = 0,0

  1. A função f é contínua em 0,0 ? Justifique!
  2. Determine as derivadas parciais δ f δ x 0,0 e δ f δ y 0,0 .
  3. Determine a derivada direcional D u f 0,0 .
  4. Explique porque o produto escalar ∇ f 0 , 0 . u não fornece a derivada de f em 0,0 na direção de u .
Resolução
23.

Seja f : R 2 → R uma função de classe C 1 tal que:

(i) A imagem da curva γ : ] 0 , π 2 [   → R 2 dada por γ t = cotg ⁡ t , sec 2 ⁡ t está contida em uma curva de nível de f .

(ii) A imagem da curva σ :   ] 0 ,   + ∞ [   → R 3 dada por σ u = u 3 ,   u 2 + 1 , u 3 2 - u 3 2 + 1 está contida no gráfico de f .

  1. Determine ∇ f 1 ,   2 justificando claramente o que está usando.
  2. Calcule ∂ f ∂ u → 1 ,   2 , onde u → = 1 2 , 3 2 .
  3. Qual é a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 1 ,   2 ,   f 1 ,   2 ?
Resolução
24.

Considere a função

f x , y = ln ⁡ 1 + x 2 - 3 y 2

E o vetor unitário u = ( a , b ) onde a > 0   e   b > 0 . Sabendo que a derivada direcional de f no ponto ( 1,1 ) na direção de u vale zero, podemos afirmar que:

  1. a = 3 2   e   b = 1 2
  2. a = 1 2   e   b = 3 2
  3. a = 2 2   e   b = 2 2
  4. a = 1 5   e   b = 2 5
  5. a = 2 3   e   b = 5 3
Resolução
25.

Considere a função f x , y = y . ln ⁡ x + x . e y .

Identifique as afirmações verdadeiras (V) e as falsas (F):

( ) A derivada da função f ( x , y ) em P ( 1,0 ) na direção do vetor v = i ^ - j ^ é nula.

( ) A função f ( x , y ) aumenta mais rapidamente na direção do vetor u = i ^ + j ^ .

( ) Existe uma direção na qual a taxa de variação da função é 2 .

( ) A taxa da variação da função é 2 1 / 2 .

( ) A reta tangente à curva f ( x , y ) no ponto P 1,0 é y = x - 1 .

  1. (1) V (2) V (3) V (4) V (5) F
  2. (1) F (2) V (3) V (4) V (5) F
  3. (1) V (2) V (3) F (4) V (5) V
  4. (1) V (2) V (3) F (4) V (5) F
  5. (1) V (2) V (3) V (4) F (5) F
Resolução
26.

1. Sendo f x , y , z = x 2 - y 2 + z 2 , calcule a derivada direcional ∂ f ∂ u → no ponto 1,2 , 1 na direção do vetor u → = 4 i ^ - 2 j ^ + 4 k ^

Resolução
27.

5. Considere u → = a , b um vetor unitário e calcule ∂ f ∂ u → 0,0 .  

f x , y = x 3 x 2 + y 2 , x , y ≠ 0,0 0 , x , y = 0,0

Resolução
28.

6. Considere u → = a , b um vetor unitário e calcule ∂ f ∂ u → 0,0 .  

f x , y = x y x 2 + y 2 , x , y ≠ 0,0 0 , x , y = 0,0

Resolução
29.

Uma função de classe C 1 f tem, no ponto 1,1 , derivada direcional igual a 3 na direção do vetor 3 i ^ + 4 j ^ e igual a - 1 na direção do vetor 4 i ^ - 3 j ^ . Calcule:

  1. ∇ f 1,1
  2. ∂ f ∂ u → 1,1 , onde u → tem a direção do vetor i ^ + j ^
Resolução
30.

10. Calcule a derivada direcional de f x , y = x 2 + y 2 , na direção da tangente à circunferência x 2 + y 2 = 25 em 3,4 no mesmo ponto.

Resolução
31.

Seja f x , y uma função diferenciável no ponto 1,2 . Sabe-se que f x 1,2 = - 1   e que a derivada direcional de f no ponto 1,2 na direção e sentido de u → = 1,1 vale 1 . Quanto vale f y 1,2 ?

  1. 2
  2. 0
  3. 1 + 2
  4. 2
  5. Não sei
Resolução
32.

Se

f x , y = x 2 y x 2 + y 2 ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 x , y = ( 0,0 )

Determine a derivada direcional D u f ( 0,0 ) , se u = 2 2 , 2 2

Resolução
33.

O relevo na vizinhança de um passo, numa cadeia de montanhas, é dado aproximadamente por z = x 2 - y 2 , onde z é a altitude relativa ao nível do passo.

  1. Qual a rota (direção) mais segura, associada a inclinação da estrada, para cruzar uma região circular r ≈ 1 em torno do passo?
  2. Determine a região segura para a construção de uma estrada pelo passo, se o material da mesma e o peso médio dos veículos determinam uma inclinação máxima de 30 ° = π 6