Enunciado

Onde trajetórias atingem o ápice Para um projétil disparado do solo com um ângulo de lançamento a com módulo de velocidade inicial y0, considere a como uma variável e y0 como uma constante fixa. Para cada α , 0 < α < π / 2 , obtemos uma trajetória parabólica conforme mostrado na figura a seguir. Mostre que todos os pontos no plano que fornecem as alturas máximas dessas trajetórias parabólicas estão na elipse

x 2 + 4 y - v 0 2 4 g 2 = v 0 4 4 g 2

Em que x ≥ 0 .

Passo 1

Fala minha galera querida!! Sabemos que a fórmula da altura máxima é dada por y = v 0 s e n   α 2 2 g e a fórmula do alcance é x = v 0 2 2 g s e n   2 α , essas são equações paramétricas que definem pontos de uma curva no plano xy em termos do parâmetro de lançamento, α .

Passo 2

Vamos tentar chegar na fórmula, elevando x ao quadrado.

x 2 = v 0 2 2 g s e n   2 α 2 = v 0 2 g s e n   α cos ⁡ α 2

x 2 = v 0 4 g 2 s e n 2 α cos 2 ⁡ α

Da relação fundamental da trigonometria, sabe-se que s e n 2 α + cos 2 ⁡ α = 1 .

x 2 = v 0 4 g 2 s e n 2 α ( 1 - s e n 2 α )

x 2 = v 0 4 g 2 s e n 2 α - v 0 4 g 2 s e n 4 α

Passo 3

Sabemos também que y = v 0 s e n   α 2 2 g ⇒ 2 y = v o g s e n 2 α , então podemos substituir no que encontramos.

x 2 = v 0 2 g 2 y - 2 y 2

x 2 + 4 y 2 - 2 v o 2 g y = 0

Vamos somar v 0 4 4 g 2 de ambos os lados para encontrar a equação da elipse.

x 2 + 4 y 2 - 2 v o 2 g y + v 0 4 4 g 2 = v 0 4 4 g 2

x 2 + 4 y 2 - v o 2 2 g y + v 0 4 16 g 2 = v 0 4 4 g 2

Temos um produto notável, vamos simplificar e ai está a equação da elipse.

x 2 + 4 y - v 0 2 4 g 2 = v 0 4 4 g 2

Bora pro próximo!

Resposta

Demonstração.

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