Enunciado

Encontre T , N   e   κ para as curvas espaciais nos Exercícios 9-16.

15. r t = t i + a cosh ⁡ t a j ,     a > 0

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O procedimento neste tipo de tarefa é o mesmo para curvas planas e espaciais. A maior parte é cálculo simples, mas é preciso ter cuidado com as condições (se houver) dadas na tarefa. Recebemos a curva r ( t ) e precisamos encontrar o vetor tangente unitário T , o vetor normal unitário N e a curvatura κ em qualquer ponto t . Primeiro encontramos r ' ( t ) . Depois disso, aplicamos as seguintes relações. O vetor tangente unitário é simplesmente uma derivada normalizada da equação da curva:

T = r ' ( t ) r ' ( t )

Para prosseguir com o cálculo, encontramos a derivada do vetor tangente unitário T ' e depois o normalizamos. A partir daí, desde:

T ' = d T d t

Encontramos o vetor normal unitário que é dado como:

N = T ' T '

Na etapa final dos cálculos, encontramos a curvatura que é definida como:

κ = T ' r '

Passo 2

A curva que nós estamos considerando é

r t = t i + a cos h ⁡ t a j

A derivada da curva é igual a

r ' t = i + senh ⁡ t a j

A norma (medida) da derivada pode ser dada como

r ' = 1 + sinh 2 ⁡ t a = cosh ⁡ t a

Com isso podemos calcular o vetor tangente:

T = r ' r ' = sech ⁡ t a i + tanh ⁡ t a j

Passo 3

A próxima etapa em nossos cálculos exige que obtenhamos uma derivada do vetor tangente. Neste caso é igual a:

T ' = - 1 a sech ⁡ t a tanh ⁡ t a i + 1 a sech 2 ⁡ t a j

O novo vetor não precisa ser o vetor unitário, então calculamos sua norma:

T ' = 1 a sech ⁡ t a

O vetor normal unitário é então dado como:

N = T ' T ' = - tanh ⁡ t a i + sech ⁡ t a j

Finalmente, a curvatura é igual a:

κ = T ' r ' = 1 a sech 2 ⁡ t a

Resposta

T = sech ⁡ t a i + tanh ⁡ t a j

N = - tanh ⁡ t a i + sech ⁡ t a j

κ = 1 a sech 2 ⁡ t a

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