Enunciado

A parábola y = 2 x 2 - 13 x + 5 tem alguma tangente cujo coeficiente angular seja - 1 ? Se assim for, determine uma equação para a reta e para o ponto de tangência. Se não tem, por que não?

Passo 1

Primeiro calculamos a derivada de f x

d d x f x   =   lim x → k ⁡   f x - f k x   –   k

d d x f x   =   lim x → k ⁡   2 x 2 - 13 x + 5   - 2 k 2 - 13 k + 5   x   –   k

d d x f x   =   lim x → k ⁡   2 x 2 - 13 x - 2 k 2 + 13 k x   –   k

d d x f x   =   lim x → k ⁡   2 x 2 - 2 k 2 + 13 k - 13 x x   –   k

d d x f x   =   lim x → k ⁡   2 ( x 2 - k 2 ) + 13 ( k - x ) x   –   k

d d x f x   =   lim x → k ⁡   2 ( x   –   k ) ( x   +   k ) - 13 ( x   –   k ) x   –   k

d d x f x   =   lim x → k ⁡   2 ( x   +   k ) - 13

d d x f x = 2 k + k - 13 = 4 k - 13

Passo 2

Para descobrir se há alguma tangente com coeficiente angular igual a - 1 , basta igualar a derivada a - 1 e encontrar o valor de k para x   = k ser o ponto no qual a tangente intercepta a parábola.

- 1   = 4 k - 13

- 1   +   13   = 4 k

12   = 4 k

k   =   3

Passo 3

Sabendo que o coeficiente angular é - 1 , podemos definir a reta tangente com a seguinte equação:

f x - f k = - 1 x - k

Calculando f k

y = 2 ∙ 3 2 - 13 ∙ 3 + 5   =   18   -   39   +   5 =   - 16

Substituindo na equação da tangente:

f x - - 16 = - 1 x - 3

f x +   16 = - x   +   3

f x = - x   -   13

Resposta

Sim, há uma reta tangente à parábola com coeficiente angular igual a - 1 . Essa reta tangente toca a parábola em x   =   3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é d
Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é d
Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é d
Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é d
Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é d