Enunciado

A parte da esfera cortada por dois planos paralelos é chamada de zona. Use o resultado do Exercício 26 para mostrar que a área da superfície de uma zona depende do raio da esfera e da distância entre os planos, mas não da localização da zona.

Passo 1

Precisamos usar essa fórmula aqui para fazer essa prova:

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x

E o enunciado já dá um bizu para gente: usamos os resultados do exercício 26, onde vimos que podemos girar uma parte do círculo em torno de y . E como vamos girar em torno de y , precisamos fazer umas modificações na fórmula (só trocar x e y de lugar):

S = ∫ c d 2 π g y 1 + g ' y 2 d y

Vamos começar!

Passo 2

Que parte do círculo pode nos ajudar? Se vamos girar em torno de y , precisamos isolar x na equação do círculo para achar g ( y ) :

x 2 + y 2 = r 2 ∴ y = ± r 2 - y 2

Podemos usar o semicírculo na parte positiva de x :

g y = r 2 - y 2

Agora precisamos achar os extremos de integração. Repara no nosso desenho:

Em azul é a região que a gente chama de zona. Nossa função descreve o semicírculo do lado direito. Se a gente posicionar os planos nas alturas genéricas y = c e y = d , podemos usar esses valores como os extremos de integração.

Passo 3

Sabemos que:

g y = r 2 - y 2

Precisamos calcular a derivada dela, usando a regra da cadeia:

g ' y = - 2 y ⋅ 1 2 r 2 - y 2

Passo 4

Vamos substituir tudo na nossa fórmula:

S = ∫ c d 2 π g y 1 + g ' y 2 d y

S = ∫ c d 2 π r 2 - y 2 1 + - 2 y ⋅ 1 2 r 2 - y 2 2 d y

Agora é integrar! Elevando nossa derivada ao quadrado e jogando nossa g ( y ) para dentro da raiz, depois fazendo a distributiva e rearrumando, ficamos com isso:

S = 2 π ∫ c d r 2 - y 2 + y 2 d y = 2 π ∫ c d r d y = 2 π r ( d - c )

Agora repara que S depende de r e d - c , só que d - c é exatamente a distância entre planos. Se a gente não tiver os valores de c e d , mas tivermos d - c , conseguimos calcular a área.

Logo, a área só depende do raio e a distância Então provamos o que o enunciado pediu. 😊

Resposta

Prova desenvolvida nos passos.

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