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Uma partícula se move ao longo de uma reta com equação de movimento s = f ( t ) , em que s é medido em metros e t em segundos. Encontre a velocidade e a velocidade escalar quando t = 5 .

f t = 100 + 50 t - 4,9 t 2

Passo 1

E aí galera, tudo tranquilo? Essa questão aqui é sobre uma aplicação da derivada em um campo muito importante da física: a cinemática!

Para resolvermos essa questão, temos que ter duas coisas em mente: que a velocidade é a derivada da posição e que a derivada de uma função em um ponto a é dada por:

f ' a = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h

Para encontrarmos a velocidade pedida, precisamos calcular f ' ( 5 ) . Primeiro, iremos encontrar f ( a + h ) e f a para jogar na nossa expressão, dá uma olhada:

f a + h = 100 + 50   .   a + h - 4,9   .   a + h 2

Agora, iremos desenvolver o produto notável quadrado da soma que aparece na nossa expressão:

f a + h = 100 + 50   .   a + h - 4,9   .   ( a 2 + 2 a h + h 2 )

Fazendo as multiplicações, teremos:

f a + h = 100 + 50 a + 50 h - 4,9 a 2 - 9,8 a h - 4,9 h 2

Agora, encontrando rapidinho f ( a ) :

f a = 100 + 50 a - 4,9 a 2

Passo 2

Agora a gente vai substituir f ( a ) e f ( a + h ) no nosso limite! Fica atento e olha só:

f ' a = lim h → 0 ⁡ 100 + 50 a + 50 h - 4,9 a 2 - 9,8 a h - 4,9 h 2 - 100 + 50 a - 4,9 a 2 h

Vamos dar mais uma arrumada nessa expressão! Primeiro, vamos tirar esses parênteses daí:

f ' a = lim h → 0 ⁡ 100 + 50 a + 50 h - 4,9 a 2 - 9,8 a h - 4,9 h 2 - 100 - 50 a + 4,9 a 2 h

Podemos cancelar 100 com - 100 , 50 a com - 50 a e - 4,9 a 2 com 4,9 a 2 , ficando assim:

f ' a = lim h → 0 ⁡ 50 h - 9,8 a h - 4,9 h 2 h

Pronto! Nossa expressão ficou bonitinha e podemos ir para o próximo passo!

Passo 3

Agora, iremos resolver esse limite. Primeiro, fazemos a substituição h = 0 , mas isso resultará em uma indeterminação 0 0 . Para resolver esse problema, vou colocar o h em evidência no numerador, assim podemos cancelar com o h do denominador, fechou? Olha o que vamos ter:

f ' a = lim h → 0 ⁡ ( 50 - 9,8 a - 4,9 h )   .   h h

f ' a = lim h → 0 ⁡ ( 50 - 9,8 a - 4,9 h )

Agora siiiiim! Vamos fazer a substituição h = 0 para resolver o limite, e aí teremos:

f ' a = 50 - 9,8 a

Passo 4

De posse dá expressão que encontramos, só precisamos fazer a = 5 e prontinho, teremos o valor da velocidade! Olha o que vai dar:

f ' 5 = 50 - 9,8   .   5

f ' 5 = 50 - 49

f ' 5 = 1   m / s

E essa é a nossa velocidade!

A velocidade escalar é o módulo do nosso resultado. Como temos um número positivo, a velocidade escalar vai ser:

f ' 5 = 1 = 1   m / s

Resposta

A velocidade é de 1   m / s e, portanto, a velocidade escalar também é de 1   m / s .

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