Enunciado

Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta, em t segundos, s é a distância orientada da partícula até a origem, v m/s é a sua velocidade e a m/s² é a sua aceleração. (27) a = 5 s + 2 ; v = 4   e   s = 2 . Ache uma equação envolvendo v e s.

Passo 1

Quando temos uma partícula se movendo em linha reta, podemos dizer que a equação de movimento é dada por s = f ( t ) , então a velocidade e a aceleração instantâneas podem ser determinadas pelas expressões v = d s d t   e   a = d v d t o u   a = d v d s d s d t = v d v d s   . Assim, se nos for dado v ou a como uma função de t, bem como condições iniciais, é possível determinar a equação de movimento resolvendo uma equação diferencial.

O nosso exercício nos dá a aceleração e pede para que achemos uma equação envolvendo a distância e a velocidade. Vamos escrever a nossa equação diferencial.

a = d v d s d s d t = v * d v d s = 5 s + 2 v d v = ( 5 s + 2 ) d s ∫ v d v = ∫ ( 5 s + 2 ) d s

Passo 2

Resolvendo a integral teremos:

∫ v d v = ∫ ( 5 s + 2 ) d s

v 2 2 = 5 s 2 2 + 2 s + K 1

Passo 3

Aplicando as condições iniciais para a velocidade, temos:

v = 4   e   s = 2 4 2 2 = 5 * 2 2 2 + 2 * 2 + K 1 1 6 2 = 20 2 + 4 + K 1 8 = 1 0 + 4 + K 1 K 1 = - 6

Portanto,

v 2 = 2 5 s 2 2 + 2 s - 6 v 2 = 5 s 2 + 4 s - 12

Resposta

A equação que envolve v e s é:

v 2 = 5 s 2 + 4 s - 12

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