Enunciado

Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta, em t segundos, s é a distância orientada da partícula até a origem, v m/s é a sua velocidade e a m/s² é a sua aceleração. (27) a = - 4 2 c o s ⁡ ( 2 t - π 4 ) ; v = 2   e   s = 1   q u a n d o   t = 0 . Expresse v e s em termos de t.

Passo 1

Quando temos uma partícula se movendo em linha reta, podemos dizer que a equação de movimento é dada por s = f ( t ) , então a velocidade e a aceleração instantâneas podem ser determinadas pelas expressões v = d s d t   e   a = d v d t o u   a = d v d s d s d t   . Assim, se nos for dado v ou a como uma função de t, bem como condições iniciais, é possível determinar a equação de movimento resolvendo uma equação diferencial.

O nosso exercício nos dá a velocidade como uma função do tempo e pede para que achemos a distância em termos do tempo. Vamos escrever a nossa equação diferencial.

a = d v d t = - 4 2 c o s ⁡ ( 2 t - π 4 ) d v = ( - 4 2 c o s ⁡ ( 2 t - π 4 ) ) d t ∫ d v = ∫ ( - 4 2 c o s ⁡ ( 2 t - π 4 ) ) d t

Passo 2

Resolvendo a integral teremos:

∫ d v = ∫ ( - 4 2 c o s ⁡ ( 2 t - π 4 ) d t

v = - 4 2 2 s e n 2 t - π 4 + K 1 v = - 2 2 s e n 2 t - π 4 + K 1

Passo 3

Aplicando as condições iniciais para a velocidade, temos:

v = 2   q u a n d o   t = 0 2 = - 2 2 s e n 2 * 0 - π 4 + K 1 2 = - 2 2 s e n - π 4 + K 1 2 = - 2 2 * - 2 2 + K 1 2 = 2 * 2 2 + K 1 K 1 = 0

Portanto,

v = - 2 2 s e n 2 t - π 4

Passo 4

Vamos agora encontrar a equação da distância em função de t:

v = d s d t = - 2 2 s e n 2 t - π 4 d s = - 2 2 s e n 2 t - π 4 d t ∫ d s = ∫ - 2 2 s e n 2 t - π 4 d t s = - 2 2 - cos ⁡ 2 t - π 4 2 + K 2 s = 2 cos ⁡ 2 t - π 4 + K 2

Passo 5

Aplicando as condições iniciais temos:

s = 1   q u a n d o   t = 0 1 = 2 cos ⁡ 2 * 0 - π 4 + K 2 1 = 2 cos ⁡ - π 4 + K 2 1 = 2 * 2 2 + K 2 K 2 = 0 Portanto,

s = 2 cos ⁡ 2 t - π 4

Resposta

As expressões de v e s em função de t são:

v = - 2 2 s e n 2 t - π 4

s = 2 cos ⁡ 2 t - π 4

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