Enunciado

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Uma partícula move-se sobre uma reta , sendo s a distancia orientada da partícula a partir da origem , V m/s, a velocidade da partícula e A m/s² , a aceleração da partícula, t s. Se a = e t + e - t , V = 1 e S =2, quanto t=0, ache V e S em termos de t.

Passo 1

Propriedades de Derivada

d d x   f   o   g a x = f ' g a x .   g ' a x .   a   ;   Sendo “a” uma constante.

d d x   x n = n   x n - 1  

d d x   a f ( x ) = l n a   .   a f ( x ) .   d d x f ( x )  

d d x   f ( x )   .   g ( x )   = f ' g + g ' f   [ R e g r a   d a   C a d e i a ]

Propriedade do Expoente

a b = e b ln ⁡ a

Funções trigonométricas

cosh ⁡ x = 1 2   e t + e - t

s e n h = 1 2   e t - e - t

Passo 2

Primeiramente

a =   e t + e - t = 2 cosh ⁡ t

E Sabendo que a = d v d t e v = d s d t , então para achar v temos que integrar a, e s é a integral de v.

Passo 3

Calculando V

V = ∫ a d t = ∫ 2 cosh ⁡ t d t

V = 2senh t + V0 , visto que estamos calculando uma integral indefinida precisamos acrescentar uma constante à integração.

Calculando S.

S = ∫ v d t =     ∫ 2 s e n h t + v 0 d t = 2 cosh ⁡ t + v 0 t +   S 0

Sabendo que V0 = 1 m/s

E S 0 = 2 m

Resposta

S(t) = 2 cosh ⁡ t + v 0 t +   2

V(t) = 2senh t + 1

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Uma partícula se move ao longo de uma reta com equação de movimento s
O custo (em dólares) de produzir x unidades de uma certa mercadoria é