Calcule a integral definida

∫ 0 l n 2 e 2 x e x - 5   d x    

Passo 1

Propriedade de integral

∫ b a f x   d x     = F a - F b

∫ b a f x + g   x   d x =   ∫ b a f x   d x     +   ∫ b a g x   d x      

  ∫   x n =   x n + 1 n + 1    

∫ a x d x = a x ln ⁡ a

Propriedade da exponencial

a b = e b ln ⁡ a

(dica : Pense na integral como uma anti-derivada. )

Passo 2

Fazendo por substituição

U = e x - 5

du = e x   d x

Logo nossa integral fica

∫ 0 l n 2 e 2 x e x - 5   d x   =   ∫ 0 l n 2 e x e x - 5 ( e x d x )   = ∫ u + 5 u d u

Separando a integral em 2

∫ u + 5 u d u =   ∫ 1 d u   + ∫ 5 u d u

= u + 5lnu

= ( e x - 5 ) x = 0 ln ⁡ 2   + 5 l n ( e x - 5 ) x = 0 ln ⁡ 2  

Passo 3

Aplicando os limites de integração à nossa função :

= (2 -5) –(1-5) + 5 (ln (2 -5) – ln (1-5))

Simplificando a nossa expressão

1 + 5 ln ⁡ 3 4

Resposta

∫ 0 l n 2 e 2 x e x - 5   d x   =   1 + 5 ln ⁡ 3 4

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