Enunciado

A uma pequena mudança (perturbação) na condição inicial ou na própria equação, frequentemente corresponde uma mudança radical na solução para uma equação diferencial. Nos Problemas 53-56 compare as soluções dos problemas de valor inicial dados.

56. d y d x = y - 1 2 - 0,01 , no qual y 0 = 1 .

Passo 1

Então galera, o nosso objetivo nessa questão é, primeiramente, resolver a equação diferencial da forma que estamos estudando, que é separando as variáveis, isto é, integrando tudo que tem x de um lado e tudo que tem y do outro, beleza? Show!

Quando a questão fala de condição inicial isso quer dizer que depois de resolvermos a equação diferencial, aplicando os pontos que a questão deu, conseguiremos determinar a constante arbitrária que surge na integração. O ponto dado serve exclusivamente para isso, tudo bem? Então vamos começar!

A equação que nos foi dada é:

d y d x = y - 1 2 - 0,01

Isolando as variáveis em cada lado da equação, teremos:

d y y - 1 2 - 0,01 = d x

Opa! Variáveis devidamente separadas. Então simbora para o último passo!

Passo 2

Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:

∫ d y y - 1 2 - 1 10 2 = ∫ d x

A integral da esquerda, curiosamente, tem um valor tabelado como resultado, acreditam? Se conferirmos uma tabela de integrais, veremos o seguinte:

∫ d u u 2 - a 2 = 1 2 a ln ⁡ u - a u + a + c

Como no nosso caso a = 1 10 e u = y - 1 , então teremos:

∫ d y y - 1 2 - 1 10 2 = 5 ln ⁡ y - 1 - 1 10 y - 1 + 1 10 + c 1 = 5 ln ⁡ 10 y - 11 10 y - 9 + c 1

Já a integral da direita tem um resultado bem tranquilo, saca só:

∫ d x = x + c 2

Top!

Passo 3

Por fim, igualando os resultados:

5 ln ⁡ 10 y - 11 10 y - 9 + c 1 = x + c 2

Juntando c 1 com c 2 teremos uma terceira constante que vamos chamar de c 3 , ok? Logo, nosso resultado será:

5 ln ⁡ 10 y - 11 10 y - 9 = x + c 3

Note que agora que resolvemos a equação diferencial surgiu uma constante arbitrária, conforme discutimos no passo 1. Aplicando o ponto y 0 = 1 , teremos:

5 ln ⁡ 1 = c 3

∴ c 3 = 0

Sendo assim, nosso resultado para a condição inicial dada será:

5 ln ⁡ 10 y - 11 10 y - 9 = x

E está aí a resolução! 😉

Resposta

5 ln ⁡ 10 y - 11 10 y - 9 = x

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