Enunciado

Um peso de 0,125 kg é suspenso por uma mola cuja constante vale 3   N / m . O sistema inteiro é imerso em um fluido que oferece uma força de amortecimento numericamente igual à velocidade instantânea. Começando em t = 0 , uma força externa igual a f t = e - t age no sistema. Determine a equação de movimento se o peso parte do repouso 2m abaixo da posição de equilíbrio.

Passo 1

Oii, tudo bem?

Quando uma força age no sistema, temos a seguinte equação:

m d 2 x d t 2 + k x + β d x d t = f ( t )

E aqui temos:

m = 0,125 = 1 8

k = 3

β = 1

(já que vai ser igual à velocidade instantânea)

f t = e - t

Nossa equação então é:

1 8   x ' ' + x ' + 3 x = e - t

Passo 2

Vamos resolver essa EDO agora...

Usando nossa equação auxiliar:

1 8 m 2 + m + 3 = 0

Encontramos:

m 1 = - 4 + 2 2 i

m 2 = - 4 - 2 2 i

A solução então é:

x t = e - 4 t c 1 cos ⁡ 2 2 t + c 2 sen ⁡ 2 2 t

Passo 3

Vamos encontrar a solução particular agora. Vamos supor x p = A e - t . Temos:

x p ' =   - A e - t

x p ' ' = A e - t

Substituindo, temos:

1 8   x ' ' + x ' + 3 x = e - t

1 8 A e - t - A e - t + 3 A e - t = e - t

17 8 A e - t = e - t

A = 8 17

A solução particular então é:

x p = 8 17 e - t

Passo 4

A solução da EDO então tem essa forma aqui:

x t = e - 4 t c 1 cos ⁡ 2 2 t + c 2 sen ⁡ 2 2 t + 8 17 e - t

Agora, pela questão temos:

x 0 = 2     e   x ' 0 = 0

Vamos usar isso para descobrir c 1 e   c 2 :

x 0 = e 0 c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 + 8 17 e 0 = 2

c 1 = 2 - 8 17 = 26 17

E agora derivando:

x ' t = - 4 e - 4 t c 1 cos ⁡ 2 2 t + c 2 sen ⁡ 2 2 t + e - 4 t - 2 2 c 1 sen ⁡ 2 2 t + 2 2 c 2 cos ⁡ 2 2

x ' 0 =   - 4 e 0 c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 + e 0 - 2 2 c 1 sen ⁡ 0 + 2 2 c 2 cos ⁡ 0 = 0

- 4 c 1 + 2 2 c 2 = 0

c 2 = 26 2 17

E aí a solução é:

x t = e - 4 t 26 17 cos ⁡ 2 2 t + 26 2 17 sen ⁡ 2 2 t + 8 17 e - t

E agora terminamos! 😉

Resposta

x t = e - 4 t 26 17 cos ⁡ 2 2 t + 26 2 17 sen ⁡ 2 2 t + 8 17 e - t

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