Enunciado

Nos problemas 1-10, encontre o intervalo de convergência das séries de potências dadas.

∑ k = 1 ∞ 2 k k x k

Passo 1

Oi, tudo bem?

Então, pra saber o intervalo de convergência da série, a gente calcula o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Que no nosso caso é:

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 x n + 1 n + 1   2 n x n n =   l i m n → ∞   2 n + 1 x n + 1 n + 1 ⋅ n 2 n x n

=   l i m n → ∞   2 x n n + 1 =   l i m n → ∞   n n + 1   | 2 x |

= 2 | x |

Passo 2

A série converge absolutamente para 2 x < 1 , ou seja:

x < 1 2 →     - 1 2 , 1 2

Agora, para x = 1 2 , temos a série:

∑ n = 1 ∞ 1 k

Que é uma série harmônica, com p = 1 , então diverge.

Já para x = - 1 2 , temos a série:

∑ n = 1 ∞ - 1 k k

Essa série converge pelo teste da série alternada.

Então, temos que a série converge em:

- 1 2 , 1 2

Resposta

- 1 2 , 1 2

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