Enunciado

Um peso de 4   k g distende uma mola em 2   c m . O peso é solto a partir do repouso a 18   c m acima da posição de equilíbrio. O movimento resultante tem lugar em um meio que oferece uma força de amortecimento numericamente igual a 7 / 8 da velocidade instantânea do corpo. Use a transformada de Laplace para determinar a equação de movimento

Passo 1

E aííí parsa!!

Bora lá, temos que resolver essa equação:

m x ' ' = - k x - β x '

Para   m = 1 8 , k = 2 e β = 7 8

Para isso, vamos usar a transformada de Laplace, beleza?

Antes vamos lembrar algumas transformadas que podem ser úteis:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Agora sim, bora lá

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

1 8 x ' ' = - 2 x - 7 8 x '

x ' ' + 7 x ' + 16 x = 0

s 2 . X s - s . x 0 - x ' ( 0 ) + 7 s . X s - x 0 + 16 X s = 0

Nesse caso, temos x 0 = - 18   c m e x ' 0 = 0

s 2 . X s + 18 s + 7 s . X s + 18 + 16 X s = 0

X s . s 2 + 7 s + 16 = - 18 s - 18

X s = - 18 s + 1 s 2 + 7 s + 16

Agora precisamos achar a transformada inversa disso, belezinha?

Passo 3

Temos

X s = - 18 s + 1 s 2 + 7 s + 16

Expandindo em frações parciais, isso vai ficar

X s = - 18 s + 7 2 s + 7 2 2 + 15 4 - 5 2 . 1 s + 7 2 2 + 15 4

X s = - 1 60 4 s 2 + 16 + 1 / 15 s 2 + 1 - - 1 15 s 2 + 16 + 1 15 s 2 + 1 e - 2 π s

Então, fazendo a transformada inversa, temos

x t = e - 7 t 2 cos ⁡ 15 t 2 - 5 e - 7 t 2 s e n 15 t 2 3

E acabaamoooooos

Resposta

x t = e - 7 t 2 cos ⁡ 15 t 2 - 5 e - 7 t 2 s e n 15 t 2 3

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