Enunciado

Depois de pesquisar, certo fabricante determinou que se x unidades de um dado artigo forem produzidas por dia, o custo marginal será dado por C ' x = 0,3 x - 11 , onde C ( x ) é o custo total da produção de x unidades. Se o preço de venda do artigo for fixado em $19 por unidade e o custo geral for $100 por dia, ache o lucro máximo diário que poderá ser obtido.

Passo 1

Sabemos que a função lucro é dada pela expressão L x = R x - C ( x ) , onde C ( x ) é o custo total e R ( x ) é a receita obtida na venda de x unidades. Devemos então obter a expressão do custo total e da receita total, para então achar a função lucro e tentar maximizá-la.

Passo 2

A função custo total será a antiderivada da função custo marginal. Devemos então integrar a função C ' x = 0,3 x - 11 . Temos então:

C x = ∫ 0,3 x - 11 d x = 0,3 ⋅ x 2 2 - 11 x + C = 0,15 x 2 - 11 x + C

Mas sabemos que o custo geral, ou seja, o custo fixo que não depende da quantidade produzida é $100, o que nos permite afirmar que C 0 = C = 100 . A expressão do custo então fica:

C x = 0,15 x 2 - 11 x + 100

Passo 3

A receita total é dada pela expressão R x = p ⋅ x , onde p é o preço da unidade e x é a quantidade de unidades vendidas. Pelo enunciado, o preço é fixo e igual a $19, então a expressão da receita total é:

R x = 19 x

Passo 4

Agora que temos as funções do custo total e da receita total, podemos obter a função lucro:

L x = R x - C x = 19 x - 0,15 x 2 - 11 x + 100

⇒ L x = - 0,15 x 2 + 30 x - 100

O gráfico de L ( x ) é uma parábola com concavidade para baixo. A abcissa onde ocorre o máximo de uma parábola y = a x 2 + b x + c pode ser calculado facilmente pela fórmula x M a x = - b 2 a . Temos então x M a x = - 30 2 ⋅ - 0,15 = 30 0,3 = 100 . O máximo da função é então:

L 100 = - 0,15 ⋅ 100 2 + 30 ⋅ 100 - 100 = - 0,15 ⋅ 10000 + 3000 - 100

= - 1500 + 2900 = 1400 .

Resposta

$1400

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